Determine as derivadas parciais das funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
f(x,y)=tan((2x−3y²+10)³). O conteúdo aqui é derivada parcial de função de várias variáveis, aplicando a regra da cadeia e sabendo que a derivada de tan(u) é sec²(u).
f(x,y)=tan((2x−3y²+10)³). O conteúdo aqui é derivada parcial de função de várias variáveis, aplicando a regra da cadeia e sabendo que a derivada de tan(u) é sec²(u).
Passo 2
Para facilitar, vamos definir funções intermediárias e lembrar a regra da cadeia. Temos
A regra da cadeia diz que para uma composição f(g(h(x,y))) a derivada parcial é o produto das derivadas de cada camada.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de v e u. Primeiro:
Como u = v^3, pela regra da cadeia temos:
Passo 4
A derivada de tan(u) em relação a u é sec²(u). Logo, aplicando regra da cadeia:
Passo 5
Basta agora voltar aos símbolos originais v=2x−3y²+10 e u=(2x−3y²+10)³ para escrever as respostas finais.
Resposta
As derivadas parciais são: