Determine as derivadas parciais das funções:
f(x, y)=tan (2 x-3 y^2+10)^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
f(x,y)=tan((2x−3y²+10)³). O conteúdo aqui é derivada parcial de função de várias variáveis, aplicando a regra da cadeia e sabendo que a derivada de tan(u) é sec²(u).

Passo 2

Para facilitar, vamos definir funções intermediárias e lembrar a regra da cadeia. Temos
v = 2x - 3y^2 + 10,
u = v^3,
f(x,y) = tan(u)
A regra da cadeia diz que para uma composição f(g(h(x,y))) a derivada parcial é o produto das derivadas de cada camada.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de v e u. Primeiro:
partial vpartial x = 2,
partial vpartial y = -6y
Como u = v^3, pela regra da cadeia temos:
partial upartial v = 3v^2 Longrightarrow partial upartial x = 3v^2 cdot 2 = 6v^2,
partial upartial y = 3v^2 cdot (-6y) = -18y,v^2

Passo 4

A derivada de tan(u) em relação a u é sec²(u). Logo, aplicando regra da cadeia:
partial fpartial x = dfdu,partial upartial x = sec^2(u) cdot 6v^2,
partial fpartial y = dfdu,partial upartial y = sec^2(u) cdot (-18y,v^2)

Passo 5

Basta agora voltar aos símbolos originais v=2x−3y²+10 e u=(2x−3y²+10)³ para escrever as respostas finais.

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x(x,y) = 6,(2x - 3y^2 + 10)^2 ;sec^2l((2x - 3y^2 + 10)^3r)
partial fpartial y(x,y) = -18,y,(2x - 3y^2 + 10)^2 ;sec^2l((2x - 3y^2 + 10)^3r)

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