Determine as derivadas parciais ∂ f / ∂ x, ∂ f / ∂ y e ∂ f / ∂ z das funções de três variáveis.
f(x, y, z)=raizx^2-3 y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de uma função de três variáveis, que é f(x,y,z)= raizx^2 - 3y^2 + z^2. Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas e lembrar que se g(u)= raizu=u^{1/2}, então g’(u)= tfrac12u^-1/2. A parte interna é u(x,y,z)=x^2 - 3y^2 + z^2.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y e z como constantes e aplicamos a regra da cadeia: primeiro derivamos g(u)=u^{1/2}, obtendo tfrac12u^-1/2, e depois derivamos u em relação a x, que é partial upartial x=2x. Juntando, temos
partial fpartial x=12(x^2 - 3y^2 + z^2)^-1/2cdot 2x=xraizx^2 - 3y^2 + z^2

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, seguimos o mesmo procedimento. A derivada de u em relação a y é partial upartial y=-6y. Então:
partial fpartial y=12(x^2 - 3y^2 + z^2)^-1/2cdot(-6y)=-3yraizx^2 - 3y^2 + z^2

Passo 4

Para calcular partial fpartial z, derivamos u em relação a z, que é partial upartial z=2z. Portanto:
partial fpartial z=12(x^2 - 3y^2 + z^2)^-1/2cdot 2z=zraizx^2 - 3y^2 + z^2

Resposta

partial fpartial x=xraizx^2 - 3y^2 + z^2, partial fpartial y=-3yraizx^2 - 3y^2 + z^2, partial fpartial z=zraizx^2 - 3y^2 + z^2

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