Determine as derivadas parciais
e
das funções de três variáveis.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de uma função de três variáveis, que é f(x,y,z)=
. Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas e lembrar que se g(u)=
=u^{1/2}, então g’(u)=
. A parte interna é u(x,y,z)=x^2 - 3y^2 + z^2.
Passo 2
Para calcular
, tratamos y e z como constantes e aplicamos a regra da cadeia: primeiro derivamos g(u)=u^{1/2}, obtendo
, e depois derivamos u em relação a x, que é
. Juntando, temos
Passo 3
Para calcular
, seguimos o mesmo procedimento. A derivada de u em relação a y é
. Então:
Passo 4
Para calcular
, derivamos u em relação a z, que é
. Portanto: