Determine as derivadas parciais ∂ f / ∂ x, ∂ f / ∂ y e ∂ f / ∂ z das funções de três variáveis.
f(x, y, z)=5 x^4 y^2 z^3-5 x z^2

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar as derivadas parciais de três variáveis da função f(x,y,z)=5x^4y^2z^3-5xz^2. O conteúdo é derivada parcial e vamos precisar usar a definição de derivada parcial (tratar as outras variáveis como constantes) e a regra de potência.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y e z como constantes. No termo 5x^4y^2z^3 aplicamos a regra de potência em x: o expoente 4 desce multiplicando e reduzimos o expoente em 1. No termo -5xz^2 derivamos x como se fosse um termo linear.

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, tratamos x e z como constantes. O segundo termo -5xz^2 não depende de y e sua derivada é zero. No termo 5x^4y^2z^3 aplicamos a regra de potência em y.

Passo 4

Para calcular partial fpartial z, tratamos x e y como constantes. No termo 5x^4y^2z^3 aplicamos a regra de potência em z. No termo -5xz^2 aplicamos a regra de potência em z também.

Resposta

[\frac{\partial f}{\partial x} = 20x3y2z^3 - 5z^2]
[\frac{\partial f}{\partial y} = 10x4yz3]
[\frac{\partial f}{\partial z} = 15x4y2z^2 - 10xz]

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