Determine as derivadas parciais indicadas:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma derivada parcial específica da função $ g(x, y) = 2x^{2} + 3 e^{xy} - \sqrt{x^{3} + 4 y^{2}} $. Estamos lidando com cálculo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática que foca em como uma função de várias variáveis muda quando uma dessas variáveis varia, mantendo as outras constantes. No caso, vamos precisar encontrar a derivada mista de segunda ordem $ \frac{\partial^{2} g}{\partial y \partial x} $, ou seja, primeiro derivar em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $. Para isso, derivamos cada termo da função $ g(x, y) $ em relação a $ x $:
-
Derivada de $ 2x^{2} $ em relação a $ x $: usamos a regra do poder, $ \frac{d}{dx}x^{n} = n x^{n-1} $. Então, $ \frac{d}{dx}2x^{2} = 4x $.
-
Derivada de $ 3 e^{xy} $ em relação a $ x $: aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ x $ é $ e^{u} \cdot \frac{du}{dx} $, onde $ u = xy $. Então, $ \frac{d}{dx}3 e^{xy} = 3 e^{xy} \cdot y $.
-
Derivada de $ -\sqrt{x^{3} + 4 y^{2}} $ em relação a $ x $: reescrevemos a raiz como potência $ \frac{1}{2} $, então temos $ -(x^{3} + 4 y{2}){1/2} $. Aplicamos a regra da cadeia novamente:
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos derivar essa expressão em relação a $ y $ para encontrar a derivada mista $ \frac{\partial^{2} g}{\partial y \partial x} $.
Derivando cada termo de $ \frac{\partial g}{\partial x} $ em relação a $ y $:
-
Derivada de $ 4x $ em relação a $ y $: como $ 4x $ não depende de $ y $, a derivada é 0.
-
Derivada de $ 3 y e^{xy} $ em relação a $ y $: usamos a regra do produto. Temos duas funções de $ y $: $ y $ e $ e^{xy} $. Então:
-
Derivada de $ -\frac{3x{2}}{2\sqrt{x{3} + 4 y^{2}}} $ em relação a $ y $: reescrevemos a expressão como $ -\frac{3x{2}}{2}(x{3} + 4 y{2}){-1/2} $ e aplicamos a regra da cadeia:
Resposta
Portanto, a derivada mista $ \frac{\partial^{2} g}{\partial y \partial x} $ é: