Determine todas as derivadas parciais (de
ordem) da função:
(d)
.
(d)
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = e^{x \ln y} - \tan x - y $. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente às derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a derivada de funções compostas e as derivadas de funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Isso significa que vamos derivar a função considerando $ y $ como uma constante.
Observe a primeira parte da função: $ e^{x \ln y} $. Aqui, temos uma função exponencial com base $ e $ e um expoente que é uma função de $ x $. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ x $ é $ e^{u} \cdot \frac{du}{dx} $, onde $ u = x \ln y $.
Derivando $ u = x \ln y $ em relação a $ x $:
Então, a derivada de $ e^{x \ln y} $ em relação a $ x $ é:
Agora, derivamos $ -\tan x $ em relação a $ x $:
A derivada de $ \tan x $ é $ \sec^2 x $, então:
A derivada de $ \tan x $ é $ \sec^2 x $, então:
Por fim, a derivada de $ -y $ em relação a $ x $ é zero, já que $ y $ é tratado como constante.
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante.
Primeiro, consideramos novamente a expressão $ e^{x \ln y} $. Para derivar essa parte em relação a $ y $, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ y $ é $ e^{u} \cdot \frac{du}{dy} $, onde $ u = x \ln y $.
Derivando $ u = x \ln y $ em relação a $ y $:
Então, a derivada de $ e^{x \ln y} $ em relação a $ y $ é:
Derivando $ -\tan x $ em relação a $ y $, temos zero, já que $ x $ é constante.
Por fim, derivando $ -y $ em relação a $ y $:
Juntando tudo:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = e^{x \ln y} - \tan x - y $ são:
e