Determine todas as derivadas parciais (de
ordem) da função:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! A questão pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ G(t, s, z) = \cos(ts) + \sin(z^{3}) $. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente às derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ G $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{\partial G}{\partial t} $. Para isso, tratamos $ s $ e $ z $ como constantes.
A função $ G $ é composta por duas partes:
- $ \cos(ts) $
- $ \sin(z^{3}) $
Ao derivar em relação a $ t $, a segunda parte $ \sin(z^{3}) $ é uma constante, então sua derivada é zero.
Agora, vamos derivar $ \cos(ts) $ em relação a $ t $:
Usamos a regra da derivada da função composta. A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ -\sin(u) $, e depois multiplicamos pela derivada de $ u $ em relação a $ t $, que no caso é $ s $.
Usamos a regra da derivada da função composta. A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ -\sin(u) $, e depois multiplicamos pela derivada de $ u $ em relação a $ t $, que no caso é $ s $.
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ G $ em relação a $ s $, ou seja, $ \frac{\partial G}{\partial s} $. Aqui, tratamos $ t $ e $ z $ como constantes.
Mais uma vez, a função $ G $ tem duas partes:
- $ \cos(ts) $
- $ \sin(z^{3}) $
Ao derivar em relação a $ s $, a segunda parte $ \sin(z^{3}) $ continua sendo constante, então sua derivada é zero.
Derivando $ \cos(ts) $ em relação a $ s $:
Usamos a mesma regra da função composta. A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ -\sin(u) $, e multiplicamos pela derivada de $ u $ em relação a $ s $, que é $ t $.
Usamos a mesma regra da função composta. A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ -\sin(u) $, e multiplicamos pela derivada de $ u $ em relação a $ s $, que é $ t $.
Então:
Passo 4
Por último, vamos encontrar a derivada parcial de $ G $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial G}{\partial z} $. Aqui, tratamos $ t $ e $ s $ como constantes.
A função $ G $ novamente tem duas partes:
- $ \cos(ts) $
- $ \sin(z^{3}) $
Ao derivar em relação a $ z $, a primeira parte $ \cos(ts) $ é constante, então sua derivada é zero.
Agora, derivamos $ \sin(z^{3}) $ em relação a $ z $:
Usamos a regra da função composta. A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ u $ é $ \cos(u) $, e multiplicamos pela derivada de $ u $ em relação a $ z $, que é $ 3z^{2} $.
Usamos a regra da função composta. A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ u $ é $ \cos(u) $, e multiplicamos pela derivada de $ u $ em relação a $ z $, que é $ 3z^{2} $.
Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ G(t, s, z) = \cos(ts) + \sin(z^{3}) $ são: