Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. O conteúdo aqui é derivação parcial, usando as regras da cadeia e do produto para funções de duas variáveis.
Passo 2
Para começar, calculamos a primeira derivada parcial em relação a
. Note que
depende de
via
e
é produto. Aplicando a regra da cadeia e do produto, obtemos:
A derivada fica
Portanto
Passo 3
Agora, calculamos a primeira derivada parcial em relação a
. Aqui apenas
e
dependem de
. Usando a cadeia, temos:
Logo
Passo 4
Para obter
, derivamos
em relação a
. Separamos o termo
e
. Aplicando produto e cadeia em
e derivando
, achamos:
Portanto
Passo 5
Para
, derivamos
em relação a
. Apenas o termo
depende de
. Aplicando produto e cadeia:
Ou seja
Passo 6
Finalmente, para
, derivamos
em relação a
. No termo
aplicamos cadeia e produto, e em
usamos derivada clássica:
Assim
Como
é suave, vale
.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são: