Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(a) f(x, y)=e^x^2 e^y-y^3+x cos x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)=e^x^2e^y-y^3 + xcos x. O conteúdo aqui é derivação parcial, usando as regras da cadeia e do produto para funções de duas variáveis.

Passo 2

Para começar, calculamos a primeira derivada parcial em relação a x. Note que e^x^2e^y depende de x via x^2e^y e xcos x é produto. Aplicando a regra da cadeia e do produto, obtemos:
fx = partialpartial xe^x^2e^y + partialpartial x(-y^3) + partialpartial x(xcos x)
A derivada fica
fx = e^x^2e^ycdot(2x e^y) + 0 + (cos x - xsin x)
Portanto
fx = 2x e^y e^x^2e^y + cos x - xsin x

Passo 3

Agora, calculamos a primeira derivada parcial em relação a y. Aqui apenas e^x^2e^y e -y^3 dependem de y. Usando a cadeia, temos:
fy = e^x^2e^ycdot(x^2 e^y) - 3y^2 + 0
Logo
fy = x^2 e^y e^x^2e^y - 3y^2

Passo 4

Para obter fxx, derivamos fx em relação a x. Separamos o termo 2x e^y e^x^2e^y e cos x - xsin x. Aplicando produto e cadeia em 2x e^y e^x^2e^y e derivando cos x - xsin x, achamos:
partialpartial x(2x e^y e^x^2e^y) = 2e^y e^x^2e^y + 2x e^y e^x^2e^ycdot(2x e^y)
partialpartial x(cos x - xsin x) = -sin x - (sin x + xcos x) = -2sin x - xcos x
Portanto
fxx = e^x^2e^y(2e^y + 4x^2e^2y) - 2sin x - xcos x

Passo 5

Para fxy, derivamos fx em relação a y. Apenas o termo 2x e^y e^x^2e^y depende de y. Aplicando produto e cadeia:
partialpartial y(2x e^y e^x^2e^y) = 2xl(e^y e^x^2e^y + e^y e^x^2e^ycdot x^2e^yr)
Ou seja
fxy = 2x e^y e^x^2e^y(1 + x^2e^y)

Passo 6

Finalmente, para fyy, derivamos fy em relação a y. No termo x^2e^y e^x^2e^y aplicamos cadeia e produto, e em -3y^2 usamos derivada clássica:
partialpartial y(x^2e^y e^x^2e^y) = x^2e^y e^x^2e^y(1 + x^2e^y), partialpartial y(-3y^2) = -6y
Assim
fyy = x^2e^y e^x^2e^y(1 + x^2e^y) - 6y
Como f é suave, vale fyx=fxy.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
fxx = e^x^2e^y(2e^y + 4x^2e^2y) - 2sin x - xcos x,
fxy = fyx = 2x e^y e^x^2e^y(1 + x^2e^y),
fyy = x^2e^y e^x^2e^y(1 + x^2e^y) - 6y

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