Determine as derivadas parciais indicadas:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para encontrar a derivada parcial de $ g(x, y) = x + y + \sqrt{\sin^{2} x + \sin^{2} y} $ em relação a $ y $, e depois avaliar essa derivada no ponto $ (0, \pi/4) $. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como $ g(x, y) $, a derivada parcial em relação a $ y $ significa que tratamos $ x $ como uma constante e diferenciamos apenas em relação a $ y $.
Então, vamos derivar $ g(x, y) $ em relação a $ y $:
Derivando termo a termo:
- A derivada de $ x $ em relação a $ y $ é 0, já que $ x $ é constante.
- A derivada de $ y $ em relação a $ y $ é 1.
- Para o termo $ \sqrt{\sin^{2} x + \sin^{2} y} $, usamos a regra da cadeia.
Vamos focar nesse último termo:
Como $ \sin^{2} x $ é constante em relação a $ y $, sua derivada é 0. A derivada de $ \sin^{2} y $ é $ 2 \sin y \cos y $ (usando a regra da cadeia novamente).
Portanto:
Agora, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto $ (0, \pi/4) $:
Primeiro, substituímos $ x = 0 $ e $ y = \pi/4 $ na expressão de $ g_{y}(x, y) $:
Calculando os valores:
- $ \sin 0 = 0 $
- $ \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
- $ \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Substituindo:
Simplificando:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{2} $:
Resposta
A derivada parcial $ g_{y}(0, \pi/4) $ é igual a $ \frac{2 + \sqrt{2}}{2} $.