Determine as derivadas parciais indicadas:
(b) g(x, y)=x+y+raizsen^2 x+sen^2 y ; gy(0, pi / 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para encontrar a derivada parcial de $ g(x, y) = x + y + \sqrt{\sin^{2} x + \sin^{2} y} $ em relação a $ y $, e depois avaliar essa derivada no ponto $ (0, \pi/4) $. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como $ g(x, y) $, a derivada parcial em relação a $ y $ significa que tratamos $ x $ como uma constante e diferenciamos apenas em relação a $ y $.
Então, vamos derivar $ g(x, y) $ em relação a $ y $:
g(x, y)
Derivando termo a termo:
  1. A derivada de $ x $ em relação a $ y $ é 0, já que $ x $ é constante.
  2. A derivada de $ y $ em relação a $ y $ é 1.
  3. Para o termo $ \sqrt{\sin^{2} x + \sin^{2} y} $, usamos a regra da cadeia.
Vamos focar nesse último termo:
y
Como $ \sin^{2} x $ é constante em relação a $ y $, sua derivada é 0. A derivada de $ \sin^{2} y $ é $ 2 \sin y \cos y $ (usando a regra da cadeia novamente).
Portanto:
x
Agora, juntando tudo:
y

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto $ (0, \pi/4) $:
Primeiro, substituímos $ x = 0 $ e $ y = \pi/4 $ na expressão de $ g_{y}(x, y) $:
(0, pi/4)
Calculando os valores:
  • $ \sin 0 = 0 $
  • $ \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
  • $ \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Substituindo:
x = 0
Simplificando:
y = pi/4
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{2} $:
gy(x, y)

Resposta

A derivada parcial $ g_{y}(0, \pi/4) $ é igual a $ \frac{2 + \sqrt{2}}{2} $.

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