Determine as derivadas parciais indicadas:
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a terceira derivada parcial mista da função $ G(x, y, z) = 2xyz + e{x{2}+y{2}+x{2} z^{2}} $, ou seja, $ \frac{\partial^{3} G}{\partial x \partial y \partial z} $. Estamos lidando com cálculo de derivadas parciais múltiplas, que é quando derivamos uma função em relação a mais de uma variável, uma de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de $ G $ em relação a $ x $, que é $ \frac{\partial G}{\partial x} $. Para isso, derivamos cada termo da função em relação a $ x $:
- A derivada de $ 2xyz $ em relação a $ x $ é $ 2yz $ porque tratamos $ y $ e $ z $ como constantes.
- Para derivar $ e{x{2}+y{2}+x{2} z^{2}} $ em relação a $ x $, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ e^u $ em relação a $ x $ é $ e^u $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ x $, onde $ u = x^{2} + y^{2} + x^{2} z^{2} $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ 2x + 2x z^{2} $.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial, ou seja, derivar $ \frac{\partial G}{\partial x} $ em relação a $ y $, resultando em $ \frac{\partial^{2} G}{\partial y \partial x} $.
Derivando cada termo de $ \frac{\partial G}{\partial x} $ em relação a $ y $:
- A derivada de $ 2yz $ em relação a $ y $ é $ 2z $.
- Para derivar $ e{x{2}+y{2}+x{2} z^{2}} \cdot (2x + 2x z^{2}) $ em relação a $ y $, usamos novamente a regra da cadeia:
- A derivada de $ e^u $ em relação a $ y $ é $ e^u $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ y $, onde $ u = x^{2} + y^{2} + x^{2} z^{2} $.
- A derivada de $ u $ em relação a $ y $ é $ 2y $.
Portanto:
Passo 4
Finalmente, vamos calcular a terceira derivada parcial, derivando $ \frac{\partial^{2} G}{\partial y \partial x} $ em relação a $ z $, resultando em $ \frac{\partial^{3} G}{\partial z \partial y \partial x} $ ou $ \frac{\partial^{3} G}{\partial x \partial y \partial z} $.
Derivando cada termo de $ \frac{\partial^{2} G}{\partial y \partial x} $ em relação a $ z $:
- A derivada de $ 2z $ em relação a $ z $ é $ 2 $.
- Para derivar $ e{x{2}+y{2}+x{2} z^{2}} \cdot 2y \cdot (2x + 2x z^{2}) $ em relação a $ z $, novamente usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
- A derivada de $ e^u $ em relação a $ z $ é $ e^u $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ z $, onde $ u = x^{2} + y^{2} + x^{2} z^{2} $.
- A derivada de $ u $ em relação a $ z $ é $ 2x^{2} z $.
- Além disso, derivamos $ (2x + 2x z^{2}) $ em relação a $ z $, que é $ 4x z $.
Portanto, temos:
Resposta
A terceira derivada parcial de $ G $ é: