Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
©
.
©
Passo 1
A função dada é
. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
,
e
. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Para encontrar
, escrevemos
com
Então
Aplicando a regra do produto:
e, combinando termos,
Passo 3
Para encontrar
, usamos novamente a regra do produto com as mesmas
e
, mas derivando em relação a
:
Logo
que se simplifica para
Passo 4
Para obter
, derivamos
com
Pela regra do quociente:
Calculando:
e,
que, fatorando
, fica
Passo 5
Para calcular
, aplicamos a derivada em relação a
em
usando novamente a regra do quociente. O resultado é
o que também vale para
.
Passo 6
Finalmente, para
, derivamos
em relação a
pela regra do quociente. Obtemos
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
$$h_{tt}=\frac{18,t2x2,(17t3-4x)}{(t3+x)^8},\quad h_{tx}=h_{xt}=\frac{2x,(44t3x-2x2-17t6)}{(t3+x)^8},\quad h_{xx}=\frac{2t,(t6-10t3x+10x2)}{(t3+x)^8}.
$$