Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
© h(t, x)=t x^2(t^3+x)^6.

Passo 1

A função dada é h(t,x)=t x^2(t^3+x)^6. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem: htt, htx=hxt e hxx. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para encontrar ht, escrevemos h=ucdot v com
u=t x^2,
v=(t^3+x)^-6
Então
partialt u=x^2,
partialt v=-6(t^3+x)^-7cdot 3t^2=-18t^2(t^3+x)^-7
Aplicando a regra do produto:
ht=x^2(t^3+x)^-6+t x^2l(-18t^2(t^3+x)^-7r)
e, combinando termos,
ht=x^2,x-17x^2t^3(t^3+x)^7=x^2(x-17t^3)(t^3+x)^7

Passo 3

Para encontrar hx, usamos novamente a regra do produto com as mesmas u e v, mas derivando em relação a x:
partialx u=2t x,
partialx v=-6(t^3+x)^-7
Logo
hx=2t x,(t^3+x)^-6+t x^2l(-6(t^3+x)^-7r)
que se simplifica para
hx=2t x(t^3-2x)(t^3+x)^7

Passo 4

Para obter htt, derivamos ht=ND com
N=x^2(x-17t^3),
D=(t^3+x)^7
Pela regra do quociente:
htt=N',D-N,D'D^2
Calculando:
N'=-51x^2t^2,
D'=7(t^3+x)^6cdot3t^2=21t^2(t^3+x)^6,
e,
htt=6t^2x^2(51t^3-12x)(t^3+x)^8
que, fatorando 6, fica
htt=18t^2x^2(17t^3-4x)(t^3+x)^8

Passo 5

Para calcular htx=partialx(ht), aplicamos a derivada em relação a x em
ht=x^2(x-17t^3)(t^3+x)^7 usando novamente a regra do quociente. O resultado é
htx=2xl(44t^3x-2x^2-17t^6r)(t^3+x)^8,
o que também vale para hxt.

Passo 6

Finalmente, para hxx, derivamos hx=2t x(t^3-2x)(t^3+x)^7 em relação a x pela regra do quociente. Obtemos
hxx=2tl(t^6-10t^3x+10x^2r)(t^3+x)^8

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
$$h_{tt}=\frac{18,t2x2,(17t3-4x)}{(t3+x)^8},\quad h_{tx}=h_{xt}=\frac{2x,(44t3x-2x2-17t6)}{(t3+x)^8},\quad h_{xx}=\frac{2t,(t6-10t3x+10x2)}{(t3+x)^8}.
$$

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