Determine todas as derivadas parciais (de
ordem) da função:
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ h(t, x) = \frac{t+3}{e^{xt} - t^{2}} $. Isso significa que precisamos calcular $ \frac{\partial h}{\partial t} $ e $ \frac{\partial h}{\partial x} $. Para isso, vamos usar a regra do quociente nas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial t} $.
A função $ h(t, x) $ é um quociente onde o numerador é $ t + 3 $ e o denominador é $ e^{xt} - t^{2} $. Pela regra do quociente, a derivada é:
Aqui, derivamos o numerador em relação a $ t $, que é 1, e o denominador em relação a $ t $, que envolve a derivada de $ e^{xt} $ (que é $ x e^{xt} $) e a derivada de $ -t^{2} $ (que é $ -2t $).
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão que encontramos:
Distribuindo $ (t + 3) $ na expressão:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando ainda mais:
Passo 4
Agora vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial x} $.
Novamente, usando a regra do quociente:
Aqui, a derivada do numerador $ t + 3 $ em relação a $ x $ é 0, e a derivada do denominador $ e^{xt} - t^{2} $ em relação a $ x $ é $ t e^{xt} $.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ h(t, x) = \frac{t+3}{e^{xt} - t^{2}} $ são:
e