Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
(f) h(t, x)=t+3e^x t-t^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ h(t, x) = \frac{t+3}{e^{xt} - t^{2}} $. Isso significa que precisamos calcular $ \frac{\partial h}{\partial t} $ e $ \frac{\partial h}{\partial x} $. Para isso, vamos usar a regra do quociente nas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial t} $.
A função $ h(t, x) $ é um quociente onde o numerador é $ t + 3 $ e o denominador é $ e^{xt} - t^{2} $. Pela regra do quociente, a derivada é:
h
Aqui, derivamos o numerador em relação a $ t $, que é 1, e o denominador em relação a $ t $, que envolve a derivada de $ e^{xt} $ (que é $ x e^{xt} $) e a derivada de $ -t^{2} $ (que é $ -2t $).

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão que encontramos:
partial hpartial t = e^xt - t^2 - (t + 3)(x e^xt - 2t)(e^xt - t^2)^2
Distribuindo $ (t + 3) $ na expressão:
(t + 3)
Agrupando termos semelhantes:
= e^xt - t^2 - x t e^xt + 2t^2 - 3x e^xt + 6t(e^xt - t^2)^2
Simplificando ainda mais:
= (e^xt - x t e^xt - 3x e^xt) + (-t^2 + 2t^2) + 6t(e^xt - t^2)^2

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial x} $.
Novamente, usando a regra do quociente:
h
Aqui, a derivada do numerador $ t + 3 $ em relação a $ x $ é 0, e a derivada do denominador $ e^{xt} - t^{2} $ em relação a $ x $ é $ t e^{xt} $.

Passo 5

Simplificando a expressão:
partial hpartial x = - (t + 3) t e^xt (e^xt - t^2)^2
Podemos reescrever isso como:
partial hpartial x = - t(t + 3)e^xt(e^xt - t^2)^2

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ h(t, x) = \frac{t+3}{e^{xt} - t^{2}} $ são:
h(t, x) = t+3e^xt - t^2
e
partial hpartial t = e^xt(1 - x t - 3x) + t^2 + 6t(e^xt - t^2)^2

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