Determine todas as derivadas parciais (de 1^a ordem) da função:
(f) g(x, y, z)=-x y^2z-2 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y, z) = \frac{-x y^{2}}{z - 2 y} $. Isso significa que vamos calcular as derivadas em relação a cada uma das variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $. Para isso, vamos usar as regras básicas de derivação e entender como tratar funções com várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $.
Observa que, ao derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes. A função fica:
x
A derivada de $ -x y^{2} $ em relação a $ x $ é simplesmente $ -y^{2} $, já que $ y $ e $ z $ são constantes. Então:
partial gpartial x

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial y} $.
Aqui, a coisa fica um pouco mais complicada porque $ y $ aparece no numerador e no denominador. Vamos usar a regra do quociente:
y
Onde $ u = -x y^{2} $ e $ v = z - 2 y $.
Calculando as derivadas:
partial gpartial y
y
Aplicando na fórmula:
partialpartial y ( uv ) = v dudy - u dvdyv^2
Simplificando:
u = -x y^2

Passo 4

Por último, vamos derivar em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial z} $.
Aqui, $ x $ e $ y $ são constantes. A função continua:
z
A derivada de uma fração em relação a $ z $ onde o numerador é constante é:
partial gpartial z

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y, z) = \frac{-x y^{2}}{z - 2 y} $ são:
g(x, y, z) = -x y^2z - 2 y
partial gpartial x = -y^2z - 2 y
partial gpartial y = 2x y^2 - 2x y z(z - 2 y)^2

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