Determine todas as derivadas parciais (de
ordem) da função:
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y, z) = \frac{-x y^{2}}{z - 2 y} $. Isso significa que vamos calcular as derivadas em relação a cada uma das variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $. Para isso, vamos usar as regras básicas de derivação e entender como tratar funções com várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $.
Observa que, ao derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes. A função fica:
A derivada de $ -x y^{2} $ em relação a $ x $ é simplesmente $ -y^{2} $, já que $ y $ e $ z $ são constantes. Então:
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial y} $.
Aqui, a coisa fica um pouco mais complicada porque $ y $ aparece no numerador e no denominador. Vamos usar a regra do quociente:
Onde $ u = -x y^{2} $ e $ v = z - 2 y $.
Calculando as derivadas:
Aplicando na fórmula:
Simplificando:
Passo 4
Por último, vamos derivar em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial z} $.
Aqui, $ x $ e $ y $ são constantes. A função continua:
A derivada de uma fração em relação a $ z $ onde o numerador é constante é:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y, z) = \frac{-x y^{2}}{z - 2 y} $ são: