Determine todas as derivadas parciais (de
ordem) da função:
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ G(x, y, z) = \cos(z) + \sin(x^{3}) - 2 \cos(x y) $. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ G $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial G}{\partial x} $. Isso significa que vamos derivar $ G $ tratando $ y $ e $ z $ como constantes.
A função $ G $ é:
Derivando termo a termo em relação a $ x $:
- $ \cos(z) $: Como $ z $ é constante em relação a $ x $, a derivada é 0.
- $ \sin(x^{3}) $: Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ u $ é $ \cos(u) $, e a derivada de $ x^{3} $ em relação a $ x $ é $ 3x^{2} $. Então:
3. $ -2 \cos(x y) $: Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ -\sin(u) $, e a derivada de $ x y $ em relação a $ x $ é $ y $. Então:
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ G $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial G}{\partial y} $. Desta vez, tratamos $ x $ e $ z $ como constantes.
Derivando termo a termo:
- $ \cos(z) $: Como $ z $ é constante em relação a $ y $, a derivada é 0.
- $ \sin(x^{3}) $: Aqui, $ x^{3} $ é constante em relação a $ y $, então a derivada também é 0.
- $ -2 \cos(x y) $: Usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ -\sin(u) $, e a derivada de $ x y $ em relação a $ y $ é $ x $. Então:
Portanto:
Passo 4
Por último, vamos encontrar a derivada parcial de $ G $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial G}{\partial z} $. Aqui, tratamos $ x $ e $ y $ como constantes.
Derivando termo a termo:
- $ \cos(z) $: A derivada de $ \cos(z) $ em relação a $ z $ é $ -\sin(z) $.
- $ \sin(x^{3}) $: Como $ x^{3} $ é constante em relação a $ z $, a derivada é 0.
- $ -2 \cos(x y) $: $ x y $ é constante em relação a $ z $, então a derivada também é 0.
Assim:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ G(x, y, z) = \cos(z) + \sin(x^{3}) - 2 \cos(x y) $ são: