Determine todas as derivadas parciais (de 1^a ordem) da função:
(g) G(x, y, z)=cos (z)+sen(x^3)-2 cos (x y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ G(x, y, z) = \cos(z) + \sin(x^{3}) - 2 \cos(x y) $. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ G $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial G}{\partial x} $. Isso significa que vamos derivar $ G $ tratando $ y $ e $ z $ como constantes.
A função $ G $ é:
G
Derivando termo a termo em relação a $ x $:
  1. $ \cos(z) $: Como $ z $ é constante em relação a $ x $, a derivada é 0.
  2. $ \sin(x^{3}) $: Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ u $ é $ \cos(u) $, e a derivada de $ x^{3} $ em relação a $ x $ é $ 3x^{2} $. Então:
x
3. $ -2 \cos(x y) $: Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ -\sin(u) $, e a derivada de $ x y $ em relação a $ x $ é $ y $. Então:
partial Gpartial x
Então, juntando tudo:
G

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ G $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial G}{\partial y} $. Desta vez, tratamos $ x $ e $ z $ como constantes.
Derivando termo a termo:
  1. $ \cos(z) $: Como $ z $ é constante em relação a $ y $, a derivada é 0.
  2. $ \sin(x^{3}) $: Aqui, $ x^{3} $ é constante em relação a $ y $, então a derivada também é 0.
  3. $ -2 \cos(x y) $: Usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ -\sin(u) $, e a derivada de $ x y $ em relação a $ y $ é $ x $. Então:
G
Portanto:
y

Passo 4

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de $ G $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial G}{\partial z} $. Aqui, tratamos $ x $ e $ y $ como constantes.
Derivando termo a termo:
  1. $ \cos(z) $: A derivada de $ \cos(z) $ em relação a $ z $ é $ -\sin(z) $.
  2. $ \sin(x^{3}) $: Como $ x^{3} $ é constante em relação a $ z $, a derivada é 0.
  3. $ -2 \cos(x y) $: $ x y $ é constante em relação a $ z $, então a derivada também é 0.
Assim:
G

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ G(x, y, z) = \cos(z) + \sin(x^{3}) - 2 \cos(x y) $ são:
G(x, y, z) = cos(z) + sin(x^3) - 2 cos(x y)
partial Gpartial x = 3x^2 cos(x^3) + 2 y sin(x y)
partial Gpartial y = 2x sin(x y)

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