Determine as derivadas parciais indicadas.
w=x^2 cos x y ; partial w / partial x(12, pi) ; partial w / partial y(12, pi)

Passo 1

Resumo: Temos a função de duas variáveis w(x,y)=x^2cos(xy) e queremos calcular as derivadas parciais partial w/partial x e partial w/partial y no ponto (x,y)=(tfrac12,pi). Para isso vamos usar regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Cálculo de partial w/partial x:
partial wpartial x=partialpartial xl(x^2cos(xy)r) =2xcos(xy)+x^2l(-sin(xy)cdot yr) =2xcos(xy)-x^2ysin(xy)
Agora avaliamos em l(x,yr)=(tfrac12,pi):
partial wpartial x(tfrac12,pi) =2cdottfrac12cos(tfrac12pi)-l(tfrac12r)^2pisin(tfrac12pi) =1cdot0-tfrac14picdot1 =-tfracpi4

Passo 3

Cálculo de partial w/partial y:
partial wpartial y=partialpartial yl(x^2cos(xy)r) =x^2l(-sin(xy)cdot xr) =-x^3sin(xy)
Avaliando em (x,y)=(tfrac12,pi):
partial wpartial y(tfrac12,pi) =-l(tfrac12r)^3sin(tfrac12pi) =-tfrac18cdot1 =-tfrac18

Resposta

partial w/partial x(tfrac12,pi)=-tfracpi4 e partial w/partial y(tfrac12,pi)=-tfrac18.

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