Seja f a função definida por:
f(x)=cccx+2 & se & x<-2 1 & se & x=-2 -x-2 & se & -20
Faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função definida por partes, ou seja, traçar cada ramo em seu intervalo, levando em conta se os pontos de fronteira estão incluídos (•) ou não (○). O conteúdo aqui é esboço de gráfico de função por partes e vamos precisar: identificar cada intervalo, calcular valores nos limites, determinar aberturas ou fechamentos de círculos e ligar segmentos de reta ou horizontais.

Passo 2

Primeiro identifico os intervalos e as fórmulas: para x<−2 temos f(x)=x+2; em x=−2, f(−2)=1; para −2<x≤−1, f(x)=−x−2; para −1<x<0, f(x)=−1; em x=0, f(0)=0; e para x>0, f(x)=1.

Passo 3

No trecho x<−2 a função é a reta y=x+2. Essa reta tem coeficiente angular 1 e intercepto y=2. À medida que x→−2−, y→0. Como o intervalo não inclui x=−2, colocamos um círculo aberto em (−2,0) e traçamos a reta estendendo-se para a esquerda.
Em x=−2 a função vale 1, então marcamos um ponto cheio em (−2,1) desligado das retas vizinhas.

Passo 4

Para −2<x≤−1 a fórmula é y=−x−2, reta de coeficiente angular −1 e intercepto −2. Em x→−2+, y→0 (círculo aberto já indicado) e em x=−1, y=−(−1)−2=−1, com x=−1 incluído, portanto ponto cheio em (−1,−1). Ligamos esses dois pontos pela reta.

Passo 5

No intervalo −1<x<0 a função é constante y=−1. Marcamos dois círculos abertos em (−1,−1) e (0,−1) e ligamos com uma linha horizontal.
Em x=0 o valor é f(0)=0, então colocamos um ponto cheio em (0,0).

Passo 6

Para x>0 a função é constante y=1. Em x=0 esse ramo não inclui o ponto, então desenhamos um círculo aberto em (0,1) e traçamos a linha horizontal y=1 para a direita.

Passo 7

Pronto! Unindo tudo, temos um esboço que combina as retas e segmentos horizontais, respeitando aberturas e fechamentos de círculos nos pontos de fronteira.

Resposta

O esboço consiste em:
  • Reta de inclinação 1 y=x+2 para x<−2, com ○ em (−2,0).
  • Ponto cheio em (−2,1).
  • Reta de inclinação −1 y=−x−2 para −2<x≤−1, com ○ em (−2,0) e • em (−1,−1).
  • Segmento horizontal y=−1 para −1<x<0, com ○ em (−1,−1) e ○ em (0,−1).
  • Ponto cheio em (0,0).
  • Segmento horizontal y=1 para x>0, com ○ em (0,1).

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