Determine as derivadas parciais indicadas:
(f)
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada mista
da função
. Vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia, pois
é função composta de
com a função raiz cúbica.
Passo 2
Para começar, definimos
e calculamos
aplicando a regra da cadeia:
[\n\frac{\partial G}{\partial y}=\frac{1}{3}u^{-2/3}\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{3}u{-2/3}(-12y2)=-4y2,u{-2/3}.\n]
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
, ainda usando a regra da cadeia:
[\n\frac{\partial^2 G}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x}(-4y2,u{-2/3})=-4y2\Bigl(-\tfrac{2}{3}u{-5/3}\frac{\partial u}{\partial x}\Bigr)=-4y2\Bigl(-\tfrac{2}{3}u{-5/3}(4x)\Bigr)=\frac{32}{3}x y2,u{-5/3}.\n]
Passo 4
Substituindo
, obtemos a expressão final da derivada mista.