Determine as derivadas parciais indicadas:
(f) G(x, y)=raiz[3]2 x^2-4 y^3 ; partial^2 Gpartial x partial y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada mista partial^2 Gpartial x partial y da função G(x,y)=raiz[3]2x^2-4y^3. Vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia, pois G(x,y) é função composta de u(x,y)=2x^2-4y^3 com a função raiz cúbica.

Passo 2

Para começar, definimos u(x,y)=2x^2-4y^3 e calculamos partial Gpartial y aplicando a regra da cadeia:
[\n\frac{\partial G}{\partial y}=\frac{1}{3}u^{-2/3}\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{3}u{-2/3}(-12y2)=-4y2,u{-2/3}.\n]

Passo 3

Agora derivamos partial Gpartial y em relação a x, ainda usando a regra da cadeia:
[\n\frac{\partial^2 G}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x}(-4y2,u{-2/3})=-4y2\Bigl(-\tfrac{2}{3}u{-5/3}\frac{\partial u}{\partial x}\Bigr)=-4y2\Bigl(-\tfrac{2}{3}u{-5/3}(4x)\Bigr)=\frac{32}{3}x y2,u{-5/3}.\n]

Passo 4

Substituindo u(x,y)=2x^2-4y^3, obtemos a expressão final da derivada mista.

Resposta

partial^2 Gpartial x partial y=323,x,y^2,(2x^2-4y^3)^-5/3

Exercícios relacionados