Determine as derivadas parciais indicadas:
(a) f(x, y)=x sen(x+y) ; fx y(0, pi), fy y(0, pi).

Passo 1

Aqui a gente tem uma função $ f(x, y) = x \sin(x + y) $. A pergunta é para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem, especificamente $ f_{xy}(0, \pi) $ e $ f_{yy}(0, \pi) $. Vamos precisar usar as regras de derivação de funções de várias variáveis, principalmente as derivadas parciais e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ f_x $. Como $ f(x, y) = x \sin(x + y) $, aplicamos a regra do produto:
f
Calculando cada parte:
x
fx
Então,
f(x, y) = x sin(x + y)

Passo 3

Agora, vamos derivar $ f_x $ em relação a $ y $ para encontrar $ f_{xy} $:
fx
Derivando cada termo:
y
fxy
Então,
fxy = partialpartial y ( sin(x + y) + x cos(x + y) )

Passo 4

Vamos calcular $ f_{xy}(0, \pi) $ substituindo $ x = 0 $ e $ y = \pi $:
fxy(0, pi)

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_y $:
f

Passo 6

Em seguida, derivamos $ f_y $ em relação a $ y $ para encontrar $ f_{yy} $:
fy

Passo 7

Finalmente, calculamos $ f_{yy}(0, \pi) $ substituindo $ x = 0 $ e $ y = \pi $:
fyy(0, pi)

Resposta

$ f_{xy}(0, \pi) = -1 $ e $ f_{yy}(0, \pi) = 0 $

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