Determine as derivadas parciais indicadas:
(a)
.
(a)
Passo 1
Aqui a gente tem uma função $ f(x, y) = x \sin(x + y) $. A pergunta é para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem, especificamente $ f_{xy}(0, \pi) $ e $ f_{yy}(0, \pi) $. Vamos precisar usar as regras de derivação de funções de várias variáveis, principalmente as derivadas parciais e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ f_x $. Como $ f(x, y) = x \sin(x + y) $, aplicamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então,
Passo 3
Agora, vamos derivar $ f_x $ em relação a $ y $ para encontrar $ f_{xy} $:
Derivando cada termo:
Então,
Passo 4
Vamos calcular $ f_{xy}(0, \pi) $ substituindo $ x = 0 $ e $ y = \pi $:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_y $:
Passo 6
Em seguida, derivamos $ f_y $ em relação a $ y $ para encontrar $ f_{yy} $:
Passo 7
Finalmente, calculamos $ f_{yy}(0, \pi) $ substituindo $ x = 0 $ e $ y = \pi $:
Resposta
$ f_{xy}(0, \pi) = -1 $ e $ f_{yy}(0, \pi) = 0 $