Resolva o problema de valor inicial.
c y d y=4 x(y^2+1) d x y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que a gente tem é:
y , dy = 4x(y^2+1) dx
E a condição inicial é $ y(0) = 1 $.
Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais, especificamente separação de variáveis, que nos ajuda a reorganizar a equação para integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para lados opostos da equação. Isso facilita a integração depois. Começamos dividindo ambos os lados por $ y(y^2 + 1) $:
y
Agora, temos tudo em termos de $ y $ de um lado e $ x $ do outro.

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia é encontrar funções cuja derivada seja igual ao que está do lado de cada integral.
Do lado esquerdo, integramos $ \frac{y}{y^{2}+1} dy $. Para isso, usamos uma substituição simples: deixe $ u = y^{2} + 1 $, então $ du = 2y , dy $, ou seja, $ \frac{du}{2} = y , dy $. A integral se torna:
yy^2+1 dy
Do lado direito, integramos $ 4x , dx $:
u = y^2 + 1

Passo 4

Vamos igualar as integrais resultantes e incluir a constante de integração:
12 ln(y^2+1) = 2x^2 + C
Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por 2:
ln(y^2+1) = 4x^2 + C'
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor da constante $ C’ $:
y(0) = 1
Substituindo de volta na equação:
C'
Para resolver para $ y $, exponenciamos ambos os lados:
ln(1^2+1) = ln(2) = 4(0)^2 + C' implies C' = ln(2)
Então,
ln(y^2+1) = 4x^2 + ln(2)
E finalmente,
y

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y = raiz2e^4x^2 - 1

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