Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que a gente tem é:
E a condição inicial é $ y(0) = 1 $.
Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais, especificamente separação de variáveis, que nos ajuda a reorganizar a equação para integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para lados opostos da equação. Isso facilita a integração depois. Começamos dividindo ambos os lados por $ y(y^2 + 1) $:
Agora, temos tudo em termos de $ y $ de um lado e $ x $ do outro.
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia é encontrar funções cuja derivada seja igual ao que está do lado de cada integral.
Do lado esquerdo, integramos $ \frac{y}{y^{2}+1} dy $. Para isso, usamos uma substituição simples: deixe $ u = y^{2} + 1 $, então $ du = 2y , dy $, ou seja, $ \frac{du}{2} = y , dy $. A integral se torna:
Do lado direito, integramos $ 4x , dx $:
Passo 4
Vamos igualar as integrais resultantes e incluir a constante de integração:
Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por 2:
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor da constante $ C’ $:
Substituindo de volta na equação:
Para resolver para $ y $, exponenciamos ambos os lados:
Então,
E finalmente,
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: