Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=arctg(y / x) ; f1(2,3)

Passo 1

Estamos com a função
f(x,y)=arctan!l(tfracyxr)
e queremos encontrar a derivada parcial em relação a x, ou seja f1(x,y), no ponto (2,3). Para isso, vamos usar a regra da cadeia e a derivada de um quociente.

Passo 2

Defina u(x,y)=tfracyx. Pela regra da cadeia,
fx(x,y) = partialpartial xarctan(u) = 11+u^2,partial upartial x

Passo 3

Como u=y/x e y é tratado como constante ao derivar em relação a x,
partial upartial x = partialpartial x!l(tfracyxr) = -yx^2

Passo 4

Substituindo u=y/x e partial u/partial x em fx, obtemos
fx(x,y) = 11+(y/x)^2,l(-yx^2r) = -yx^2+y^2

Passo 5

Agora é só avaliar em (x,y)=(2,3):
f1(2,3)=fx(2,3) = -32^2+3^2 = -34+9 = -313

Resposta

f1(2,3) = -313

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