Questão 1: Prove que as funções dadas são diferenciáveis.
f(x, y)=x y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
fcolon R^2 to R, f(x,y)=x,y
é diferenciável em qualquer ponto (x,y). Para isso vamos usar a definição de diferenciabilidade em R^2: encontrar um operador linear L(h,k) que aproxime f(x+h,y+k)-f(x,y) e mostrar que o resto dividido pela norma de (h,k) tende a zero quando (h,k)to(0,0).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f. Para (x,y) fixos,
partial fpartial x(x,y)=y, partial fpartial y(x,y)=x
O candidato natural ao diferencial de f em (x,y) é o operador linear
L(h,k)=y,h + x,k

Passo 3

Avaliando a diferença entre f num deslocamento e a aproximação linear, temos
f(x+h,y+k)-f(x,y)-L(h,k) =(x+h)(y+k)-x,y - (y,h+x,k) =,h,k
Ou seja, o resto da aproximação é
R(h,k)=h,k
Para verificar que R(h,k) é de ordem menor que |(h,k)|, note que
l|R(h,k)r| =|h,k| <= h^2+k^22
pela desigualdade aritmético‐geométrica. Logo
l|R(h,k)r|raizh^2+k^2 <= h^2+k^22,raizh^2+k^2 =raizh^2+k^22 ;xrightarrow(h,k)to(0,0);0
Isso mostra que o resto é o(|(h,k)|), e portanto f é diferenciável em (x,y) com diferencial L.

Resposta

A função f(x,y)=x,y é diferenciável em R^2 e seu diferencial em (x,y) é
df(x,y)(h,k)=y,h + x,k

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