Questão 1: Prove que as funções dadas são diferenciáveis.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável em qualquer ponto . Para isso vamos usar a definição de diferenciabilidade em : encontrar um operador linear que aproxime e mostrar que o resto dividido pela norma de tende a zero quando .
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de . Para fixos,
O candidato natural ao diferencial de em é o operador linear
Passo 3
Avaliando a diferença entre num deslocamento e a aproximação linear, temos
Ou seja, o resto da aproximação é
Para verificar que é de ordem menor que , note que