Calcule:
integral0^1 1raizx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^1 1raizx,dx
Aqui temos uma integral imprópria no limite inferior, já que 1raizx não está definida em x=0. Para resolver, precisamos conhecer como achar a antiderivada de potências de x e usar limites para conduzir a convergência.

Passo 2

Escrevemos a integral imprópria como limite:
integral0^1 x^-tfrac12,dx =limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^1x^-tfrac12,dx

Passo 3

Calculamos a antiderivada de x^-tfrac12. Sabendo que
integral x^n,dx=x^n+1n+1+C(nneq -1),
para n=-tfrac12 temos
integral x^-tfrac12,dx =2,x^tfrac12+C

Passo 4

Avaliamo-la entre varepsilon e 1 e depois tomamos o limite:
integralvarepsilon^1x^-tfrac12,dx =l[2raizxr]varepsilon^1 =2raiz1-2raizvarepsilon =2-2raizvarepsilon
Portanto,
integral0^11raizx,dx =limvarepsilonto0^+(2-2raizvarepsilon) =2

Resposta

2

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