Verifique a convergência ou divergência da seguinte integral:
integral1^infty 1x d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência ou divergência da integral imprópria
integral1^infty1x,dx
O conteúdo envolvido é o estudo de integrais impróprias em que o intervalo de integração é infinito. Para decidir se converge ou diverge, vamos reescrever a integral como um limite e calcular sua primitiva.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite de uma integral definida em um intervalo finito:
integral1^infty1x,dx = limRtoinftyintegral1^R1x,dx

Passo 3

Calculamos a primitiva de tfrac1x. Sabemos que
ddxl(ln(x)r)=1x,
logo uma primitiva de tfrac1x é ln(x).

Passo 4

Avaliamo-na integral de 1 a R:
integral1^R1x,dx = l[ln(x)r]1^R = ln(R) - ln(1)
Como ln(1)=0, isso fica simplesmente ln(R).

Passo 5

Agora tomamos o limite quando Rtoinfty:
limRtoinftyln(R) = +infty
Esse limite não é finito, cresce sem limite.

Resposta

A integral
integral1^infty1x,dx
é divergente.

Exercícios relacionados