Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=ln (x+raizx^2+y^2) ; f(3,4)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=lnl(x+raizx^2+y^2r)
e pede as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y, avaliadas no ponto (3,4). Para isso, usaremos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Defina
u(x,y)=x+raizx^2+y^2,
então f(x,y)=ln u. Pela regra da cadeia,
partial fpartial x =1u,partial upartial x
Agora
partial upartial x =1+partialpartial xl(raizx^2+y^2r) =1+xraizx^2+y^2
Logo,
partial fpartial x =1 + xraizx^2+y^2 x+raizx^2+y^2

Passo 3

De modo análogo,
partial fpartial y =1u,partial upartial y com partial upartial y =yraizx^2+y^2
Então
partial fpartial y =yraizx^2+y^2 x+raizx^2+y^2

Passo 4

No ponto (3,4) temos raiz3^2+4^2=5 e x+raizx^2+y^2=3+5=8. Substituindo:
partial fpartial x(3,4) =1 + 358 =tfrac858 =15,
partial fpartial y(3,4) =458 =110

Resposta

partial fpartial x(3,4)=15, partial fpartial y(3,4)=110

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