Determine se a integral imprópria abaixo é convergente ou divergente. Calcule seu valor, se convergente:
integral1^infty 1x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
integral1^infty1x^2,dx
é convergente ou divergente e, se convergente, calcular seu valor. O conteúdo envolve integrais impróprias e, em particular, o critério de p-integral.

Passo 2

O critério de p-integral diz que
integral1^infty1x^p,dx
converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=2>1, portanto a integral é convergente.

Passo 3

Para obter o valor, calculamos a antiderivada de x^-2 e avaliamos o limite de integração:
integral x^-2dx = -1x + C
Logo, para b>1,
integral1^b1x^2,dx =l[-tfrac1xr]1^b =-1b-l(-1r) =1-1b
Fazendo btoinfty, temos
limbtoinftyl(1-tfrac1br) =1

Resposta

A integral é convergente e vale 1.

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