Determine se a integral imprópria abaixo é convergente ou divergente. Calcule seu valor, se convergente:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente e, se convergente, calcular seu valor. O conteúdo envolve integrais impróprias e, em particular, o critério de p-integral.
é convergente ou divergente e, se convergente, calcular seu valor. O conteúdo envolve integrais impróprias e, em particular, o critério de p-integral.
Passo 2
O critério de p-integral diz que
converge se, e somente se,
. Aqui temos
, portanto a integral é convergente.
Passo 3
Para obter o valor, calculamos a antiderivada de
e avaliamos o limite de integração:
Logo, para
,
Fazendo
, temos
Resposta
A integral é convergente e vale
.