Mostre que a operação de calcular o gradiente de uma função tem a propriedade fornecida. Suponha que
e
sejam funções diferenciáveis de
e
que
e
sejam constantes
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos a propriedade da operação gradiente aplicada ao produto de duas funções escalares diferenciáveis
e
, ou seja, provar que
Para isso precisaremos da definição de gradiente e da regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Lembramos que, para qualquer função escalar
, o gradiente é definido por
Aqui vamos aplicar essa definição à função
.
Passo 3
Usando a regra do produto nas derivadas parciais de
temos
Passo 4
Então o gradiente de
fica
onde usamos a notação abreviada
e
, etc.
Passo 5
Agora separamos os termos em dois vetores:
Somando-os, recuperamos exatamente o vetor em
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