Mostre que a operação de calcular o gradiente de uma função tem a propriedade fornecida. Suponha que u e v sejam funções diferenciáveis de x e y que a e b sejam constantes
nabla(f g)=f nabla g+g nabla f

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a propriedade da operação gradiente aplicada ao produto de duas funções escalares diferenciáveis f(x,y) e g(x,y), ou seja, provar que
nabla(fg)=f,nabla g+g,nabla f
Para isso precisaremos da definição de gradiente e da regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Lembramos que, para qualquer função escalar h(x,y), o gradiente é definido por
nabla h = l(partial hpartial x,,partial hpartial yr)
Aqui vamos aplicar essa definição à função h(x,y)=f(x,y),g(x,y).

Passo 3

Usando a regra do produto nas derivadas parciais de h temos
partial(fg)partial x = f,partial gpartial x ;+; g,partial fpartial x,
partial(fg)partial y = f,partial gpartial y ;+; g,partial fpartial y

Passo 4

Então o gradiente de fg fica
nabla(fg) =l(partial(fg)partial x,,partial(fg)partial yr) =l(f,gx + g,fx,;f,gy + g,fyr),
onde usamos a notação abreviada fx=partial fpartial x e gy=partial gpartial y, etc.

Passo 5

Agora separamos os termos em dois vetores:
f,nabla g = l(f,gx,;f,gyr), g,nabla f = l(g,fx,;g,fyr)
Somando-os, recuperamos exatamente o vetor em nabla(fg). Logo
nabla(fg)=f,nabla g+g,nabla f

Resposta

nabla(fg)=f,nabla g+g,nabla f

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