Se y é dada implicitamente pela equação x^3-x^2 y^2+y^3=1, determine y^prime. Qual é o valor de y^prime no ponto de coordenadas (1,1) ?

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
x^3 - x^2y^2 + y^3 = 1
e pede a derivada y'=dydx e seu valor no ponto (1,1). Para isso usamos diferenciação implícita, aplicando regra do produto e da cadeia.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
ddx(x^3) - ddx(x^2y^2) + ddx(y^3) = ddx(1) = 0
Calculando cada derivada:
ddx(x^3) = 3x^2,
ddx(x^2y^2) = 2x,y^2 + x^2cdot 2y,y',
ddx(y^3) = 3y^2,y'

Passo 3

Substituindo na equação e rearranjando:
3x^2 - l(2x,y^2 + 2x^2y,y'r) + 3y^2,y' = 0 ;Longrightarrow; 3x^2 - 2x,y^2 - 2x^2y,y' + 3y^2,y' = 0
Agrupando os termos que contêm y':
(-2x^2y + 3y^2),y' + (3x^2 - 2x,y^2) = 0 Longrightarrow y' = 2x,y^2 - 3x^23y^2 - 2x^2y

Passo 4

No ponto (1,1) temos
y'(1,1) = 2cdot1cdot1^2 - 3cdot1^23cdot1^2 - 2cdot1^2cdot1 = 2 - 33 - 2 = -1

Resposta

A derivada implícita é
y' = 2x,y^2 - 3x^23y^2 - 2x^2y,
e seu valor em (1,1) é -1.

Exercícios relacionados