Determine as derivadas parciais indicadas f(x, y) = 7 x^3 y^5 - 2 x^2 y + 5 x
f_xx y e f_y x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar duas derivadas parciais de uma função. A função dada é:
O conteúdo que vamos usar aqui é derivadas parciais, que são a maneira de ver como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra fixa. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como tirar derivadas parciais e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada parcial de em relação a , que a gente denota por . Isso significa que vamos derivar cada termo da função em relação a , tratando como uma constante.
A função é:
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, . Isso significa derivar em relação a novamente.
Temos:
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 4

Agora, vamos tirar a derivada parcial de em relação a para encontrar .
Temos:
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Assim, a derivada é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a outra derivada que precisamos: . Para isso, vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função original é:
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar .
Temos:
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 7

Finalmente, vamos derivar em relação a para encontrar .
Temos:
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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