Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=x^{4} y^{2}-x^{3} y, \quad \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}}, \frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y \partial x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{4}y^{2}-x^{3}y
e pede duas derivadas parciais de terceira ordem:
\frac{\partial^{3}f}{\partial x^{3}} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial^{3}f}{\partial x\partial y\partial x}.
Lista de informações relevantes que temos: a função é um polinômio em x e y; ao derivar parcialmente em relação a x tratamos y como constante, e ao derivar parcialmente em relação a y tratamos x como constante. A resolução começa calculando derivadas parciais de ordem crescente.

Passo 2

Primeiro passo computacional: achar \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Lembrete das regras usadas:
  • Regra da potência (para variável x): \displaystyle \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Se uma expressão é produto de uma função de x por uma função de y (por exemplo x^{4}y^{2}), ao derivar em x podemos tratar y^{2} como constante: \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\big(g(x)\,h(y)\big)=g'(x)\,h(y).
Aplicando em cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}y^{2}\big)=4x^{3}y^{2},
\frac{\partial}{\partial x}\big(-x^{3}y\big)=-3x^{2}y.
Somando,
\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}y^{2}-3x^{2}y.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada parcial em x: \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}.
Derivamos a expressão obtida em x novamente, lembrando que y é constante:
\frac{\partial}{\partial x}\big(4x^{3}y^{2}\big)=12x^{2}y^{2},
\frac{\partial}{\partial x}\big(-3x^{2}y\big)=-6x y.
Somando,
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=12x^{2}y^{2}-6x y.

Passo 4

Agora a terceira derivada em x: \displaystyle \frac{\partial^{3}f}{\partial x^{3}}.
Derivamos \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} em x mais uma vez:
\frac{\partial}{\partial x}\big(12x^{2}y^{2}\big)=24x y^{2},
\frac{\partial}{\partial x}\big(-6x y\big)=-6y.
Portanto
\frac{\partial^{3}f}{\partial x^{3}}=24x y^{2}-6y.
Podemos fatorar se quisermos: \displaystyle 6y(4x y-1), mas a forma expandida é totalmente válida.

Passo 5

Agora calculamos a derivada mista \displaystyle \frac{\partial^{3}f}{\partial x\partial y\partial x}. Pelo que a notação indica, seguimos a ordem: primeiro \partial/\partial x, depois \partial/\partial y, depois \partial/\partial x. Já temos a primeira etapa: \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}y^{2}-3x^{2}y (obtida no Passo 2).
Passo intermediário: derivar essa expressão em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(4x^{3}y^{2}\big)=8x^{3}y,
\frac{\partial}{\partial y}\big(-3x^{2}y\big)=-3x^{2}.
Logo
\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big)=8x^{3}y-3x^{2}.

Passo 6

Última etapa: derivar a expressão do Passo 5 em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(8x^{3}y\big)=24x^{2}y,
\frac{\partial}{\partial x}\big(-3x^{2}\big)=-6x.
Somando,
\frac{\partial^{3}f}{\partial x\partial y\partial x}=24x^{2}y-6x.
Observação rápida (para animar): como f é polinomial (suave), permutar a ordem das derivadas mistas que envolvem x e y geralmente dá o mesmo resultado (teorema de Clairaut), mas aqui segui estritamente a ordem pedida e calculei passo a passo.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{3}f}{\partial x^{3}}=24x y^{2}-6y
\displaystyle \frac{\partial^{3}f}{\partial x\partial y\partial x}=24x^{2}y-6x

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