Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas derivadas parciais de terceira ordem:
Lista de informações relevantes que temos: a função é um polinômio em
e
; ao derivar parcialmente em relação a
tratamos
como constante, e ao derivar parcialmente em relação a
tratamos
como constante. A resolução começa calculando derivadas parciais de ordem crescente.
Passo 2
Primeiro passo computacional: achar
.
Lembrete das regras usadas:
- Regra da potência (para variável
): . - Se uma expressão é produto de uma função de
por uma função de (por exemplo ), ao derivar em podemos tratar como constante: .
Aplicando em cada termo:
Somando,
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada parcial em
:
.
Derivamos a expressão obtida em
novamente, lembrando que
é constante:
Somando,
Passo 4
Agora a terceira derivada em
:
.
Derivamos
em
mais uma vez:
Portanto
Podemos fatorar se quisermos:
, mas a forma expandida é totalmente válida.
Passo 5
Agora calculamos a derivada mista
. Pelo que a notação indica, seguimos a ordem: primeiro
, depois
, depois
. Já temos a primeira etapa:
(obtida no Passo 2).
Passo intermediário: derivar essa expressão em relação a
:
Logo
Passo 6
Última etapa: derivar a expressão do Passo 5 em relação a
:
Somando,
Observação rápida (para animar): como
é polinomial (suave), permutar a ordem das derivadas mistas que envolvem
e
geralmente dá o mesmo resultado (teorema de Clairaut), mas aqui segui estritamente a ordem pedida e calculei passo a passo.