Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y, z)=e^{x y z^{2}}, \quad \frac{\partial^{3} f}{\partial z \partial y \partial x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=e^{x y z^{2}}
e pede a derivada mista de terceira ordem \displaystyle \frac{\partial^{3} f}{\partial z \partial y \partial x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é a exponencial de x y z^{2}.
  • A ordem de diferenciação é primeiro em x, depois em y e por fim em z.
    A partir daqui vamos calcular passo a passo \displaystyle f_x, depois \displaystyle f_{xy} e finalmente \displaystyle f_{xyz}.

Passo 2

Antes de calcular, um resumo rápido e didático das ferramentas que vamos usar:
  1. Regra da cadeia para derivadas parciais: se \displaystyle f(x,y,z)=e^{u(x,y,z)}, então
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{u(x,y,z)}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui \displaystyle u(x,y,z) é a função dentro do expoente.
  1. Regra do produto: se g(x,y,z)=h(x,y,z)\cdot k(x,y,z), então
\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial h}{\partial y}\cdot k + h\cdot \frac{\partial k}{\partial y}.
Vamos aplicar essas regras repetidamente.
No nosso caso é conveniente definir
u(x,y,z)=x y z^{2},
pois f=e^{u}. Calcular as derivadas parciais de u em cada etapa será necessário.

Passo 3

Calcular \displaystyle f_x (derivar primeiro em x).
Primeiro calcule as derivadas parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}\bigl(x y z^{2}\bigr)=y z^{2},
\frac{\partial u}{\partial y} = x z^{2},
\frac{\partial u}{\partial z} = 2 x y z.
Aplicando a regra da cadeia para f=e^{u}:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}=e^{x y z^{2}}\cdot (y z^{2}).
Portanto
f_x = y z^{2} e^{x y z^{2}}.

Passo 4

Calcular \displaystyle f_{xy} (derivar em y a expressão encontrada para f_x).
Temos f_x = y z^{2} e^{x y z^{2}}. É produto de y z^{2} por e^{u}, então aplicamos a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y z^{2} e^{u}\bigr) = \frac{\partial}{\partial y}(y z^{2})\cdot e^{u} + (y z^{2})\cdot \frac{\partial}{\partial y}(e^{u}).
Calcule cada termo:
\frac{\partial}{\partial y}(y z^{2})=z^{2},
e usando a cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}(e^{u})=e^{u}\cdot u_y = e^{x y z^{2}}\cdot (x z^{2}).
Substituindo:
f_{xy}=z^{2} e^{x y z^{2}} + y z^{2}\cdot e^{x y z^{2}}\cdot (x z^{2}).
Simplificando o segundo termo:
y z^{2}\cdot x z^{2}=x y z^{4},
logo
f_{xy}=z^{2} e^{x y z^{2}} + x y z^{4} e^{x y z^{2}}.
Podemos fatorar z^{2} e^{x y z^{2}} se quisermos:
f_{xy}=z^{2} e^{x y z^{2}}\bigl(1 + x y z^{2}\bigr).

Passo 5

Calcular \displaystyle f_{xyz} (derivar em z a expressão para f_{xy}).
Usarei a forma expandida encontrada no passo anterior:
f_{xy}=z^{2} e^{x y z^{2}} + x y z^{4} e^{x y z^{2}}.
Derivando termo a termo em z.
Primeiro termo: \displaystyle g_1(z)=z^{2} e^{x y z^{2}}.
Aplicando produto + cadeia:
\frac{\partial g_1}{\partial z}=2z\cdot e^{x y z^{2}} + z^{2}\cdot e^{x y z^{2}}\cdot \frac{\partial}{\partial z}(x y z^{2}).
Mas já sabemos \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(x y z^{2})=2 x y z. Então
\frac{\partial g_1}{\partial z}=2z e^{x y z^{2}} + z^{2} e^{x y z^{2}}\cdot (2 x y z) =2z e^{x y z^{2}} + 2 x y z^{3} e^{x y z^{2}}.
Segundo termo: \displaystyle g_2(z)=x y z^{4} e^{x y z^{2}}. Note que x e y são constantes ao derivar em z.
Aplicando produto + cadeia:
\frac{\partial g_2}{\partial z}=x y\cdot\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{4} e^{x y z^{2}}\bigr).
Agora
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{4} e^{x y z^{2}}\bigr)=4 z^{3} e^{x y z^{2}} + z^{4} e^{x y z^{2}}\cdot (2 x y z).
Portanto
\frac{\partial g_2}{\partial z}=x y\bigl(4 z^{3} e^{x y z^{2}} + 2 x y z^{5} e^{x y z^{2}}\bigr) =4 x y z^{3} e^{x y z^{2}} + 2 x^{2} y^{2} z^{5} e^{x y z^{2}}.
Somando os dois resultados:
f_{xyz}=\bigl(2z e^{x y z^{2}} + 2 x y z^{3} e^{x y z^{2}}\bigr) + \bigl(4 x y z^{3} e^{x y z^{2}} + 2 x^{2} y^{2} z^{5} e^{x y z^{2}}\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
f_{xyz}=2z e^{x y z^{2}} + (2+4)x y z^{3} e^{x y z^{2}} + 2 x^{2} y^{2} z^{5} e^{x y z^{2}}.
Logo
f_{xyz}=2z e^{x y z^{2}} + 6 x y z^{3} e^{x y z^{2}} + 2 x^{2} y^{2} z^{5} e^{x y z^{2}}.
Podemos também fatorar 2z e^{x y z^{2}}:
f_{xyz}=2z e^{x y z^{2}}\bigl(1 + 3 x y z^{2} + x^{2} y^{2} z^{4}\bigr).

Resposta

\frac{\partial^{3} f}{\partial z \partial y \partial x} =2z e^{x y z^{2}} + 6 x y z^{3} e^{x y z^{2}} + 2 x^{2} y^{2} z^{5} e^{x y z^{2}}

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