Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada mista de terceira ordem
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é a exponencial de
. - A ordem de diferenciação é primeiro em
, depois em e por fim em .
A partir daqui vamos calcular passo a passo, depois e finalmente .
Passo 2
Antes de calcular, um resumo rápido e didático das ferramentas que vamos usar:
- Regra da cadeia para derivadas parciais: se
, então
Aqui
é a função dentro do expoente.
- Regra do produto: se
, então
Vamos aplicar essas regras repetidamente.
No nosso caso é conveniente definir
pois
. Calcular as derivadas parciais de
em cada etapa será necessário.
Passo 3
Calcular
(derivar primeiro em
).
Primeiro calcule as derivadas parciais de
:
Aplicando a regra da cadeia para
:
Portanto
Passo 4
Calcular
(derivar em
a expressão encontrada para
).
Temos
. É produto de
por
, então aplicamos a regra do produto:
Calcule cada termo:
e usando a cadeia,
Substituindo:
Simplificando o segundo termo:
logo
Podemos fatorar
se quisermos:
Passo 5
Calcular
(derivar em
a expressão para
).
Usarei a forma expandida encontrada no passo anterior:
Derivando termo a termo em
.
Primeiro termo:
.
Aplicando produto + cadeia:
Aplicando produto + cadeia:
Mas já sabemos
. Então
Segundo termo:
. Note que
e
são constantes ao derivar em
.
Aplicando produto + cadeia:
Aplicando produto + cadeia:
Agora
Portanto
Somando os dois resultados:
Agrupando termos semelhantes:
Logo
Podemos também fatorar
: