Determine as derivadas parciais indicadas:
(a) f(x, y)=3 y-2 x^2 y+y^4 ; fx(1,-1) e fy(1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivadas parciais! A gente tem a função $ f(x, y) = 3y - 2x^{2} y + y^{4} $ e precisa encontrar as derivadas parciais $ f_{x}(1,-1) $ e $ f_{y}(1,-1) $. Isso envolve cálculo de derivadas em funções de mais de uma variável, onde a gente olha como a função muda em relação a uma variável, mantendo a outra fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é $ f_{x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante e derivamos com respeito a $ x $.
A função é:
f
Derivando termo a termo em relação a $ x $:
  • Derivada de $ 3y $ em relação a $ x $ é 0, porque $ y $ é constante.
  • Derivada de $ -2x^{2} y $ em relação a $ x $ é $ -4x y $ (usando a regra da potência).
  • Derivada de $ y^{4} $ em relação a $ x $ é 0, pois é uma constante.
Então:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular $ f_{x}(1, -1) $. Substituímos $ x = 1 $ e $ y = -1 $ na expressão que encontramos:
fx(1, -1)

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, que é $ f_{y} $. Dessa vez, tratamos $ x $ como constante e derivamos com respeito a $ y $.
A função é:
f
Derivando termo a termo em relação a $ y $:
  • Derivada de $ 3y $ em relação a $ y $ é 3.
  • Derivada de $ -2x^{2} y $ em relação a $ y $ é $ -2x^{2} $.
  • Derivada de $ y^{4} $ em relação a $ y $ é $ 4y^{3} $.
Então:
y

Passo 5

Agora, vamos calcular $ f_{y}(1, -1) $. Substituímos $ x = 1 $ e $ y = -1 $ na expressão que encontramos:
fy(1, -1)
x = 1
y = -1

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:
fx(1, -1) = 4
fy(1, -1) = -3

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