Determine as derivadas parciais indicadas:
(h) g(x, y)=raiz4 y^2 cos ^2 x+4 x^2 sin ^2 y ; gy(pi / 2, pi / 4).

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: A gente quer achar a derivada parcial de g(x,y)=raiz4y^2cos^2x+4x^2sin^2y em relação a y no ponto (x,y)=(pi/2,pi/4). O assunto aqui é derivadas parciais usando regra da cadeia e derivada de raiz quadrada.

Passo 2

Aplicar regra da cadeia: Definindo a função interna F(x,y)=4y^2cos^2x+4x^2sin^2y, temos que g(x,y)=raizF(x,y). Logo, para derivada parcial em relação a y serve a fórmula:
gy(x,y)=Fy(x,y)2raizF(x,y)

Passo 3

Calcular Fy(x,y): diferenciando termo a termo,
Fy(x,y)=partialpartial y(4y^2cos^2x)+partialpartial y(4x^2sin^2y)=8ycos^2x+8x^2sin ycos y

Passo 4

Avaliação em (pi/2,pi/4): primeiro,
cosl(pi2r)=0,sinl(pi4r)=cosl(pi4r)=raiz22

Passo 5

Então
Fl(tfracpi2,tfracpi4r)=4l(tfracpi4r)^2cdot0+4l(tfracpi2r)^2l(tfracraiz22r)^2=pi^22,
raizFl(tfracpi2,tfracpi4r)=piraiz2, Fyl(tfracpi2,tfracpi4r)=8cdotpi4cdot0+8l(tfracpi2r)^2cdotraiz22cdotraiz22=pi^22

Passo 6

Substituindo em gy=Fy/(2raiz F) obtemos
gyl(tfracpi2,tfracpi4r)=tfracpi^222cdottfracpiraiz2=piraiz22

Resposta

piraiz22

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