Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. O conteúdo envolvido é derivadas parciais e vamos usar a regra do quociente para diferenciação em relação a
e a regra da derivada de polinômio em relação a
.
Passo 2
Para achar
, nomeamos o numerador
e o denominador
. Aplicando a regra do quociente em
:
Passo 3
Para achar
, note que o denominador não depende de
, então é só derivar o numerador:
Passo 4
Agora calculamos
. Podemos usar novamente quociente sobre
, onde
. Temos
e
Aplicando quociente:
Fatorando
na parte de cima e simplificando chegamos a
Passo 5
Para
, derivamos
em relação a
. Só o numerador depende de
:
portanto
Como as derivadas mistas são iguais,
.
Passo 6
Finalmente, para
derivamos
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são: