Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(b) g(x, y)=3 x^2+y^2+32 x+1.

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função g(x,y)=3x^2+y^2+32x+1. O conteúdo envolvido é derivadas parciais e vamos usar a regra do quociente para diferenciação em relação a x e a regra da derivada de polinômio em relação a y.

Passo 2

Para achar gx, nomeamos o numerador N(x,y)=3x^2+y^2+3 e o denominador D(x)=2x+1. Aplicando a regra do quociente em x:
Nx=6x,
Dx=2,
gx=NxD - N DxD^2 =6x(2x+1)-(3x^2+y^2+3)cdot2(2x+1)^2 =6x(2x+1)-2(3x^2+y^2+3)(2x+1)^2

Passo 3

Para achar gy, note que o denominador não depende de y, então é só derivar o numerador:
Ny=2y,
gy=NyD= rac2y2x+1

Passo 4

Agora calculamos gxx. Podemos usar novamente quociente sobre gx=A(x,y)(2x+1)^2, onde A=6x^2+6x-2y^2-6. Temos
Ax=12x+6
e
D1=(2x+1)^2, D1' =2cdot2(2x+1)=4(2x+1)
Aplicando quociente:
gxx=AxD1 - A D1'D1^2 =(12x+6)(2x+1)^2 - (6x^2+6x-2y^2-6)cdot4(2x+1)(2x+1)^4
Fatorando (2x+1) na parte de cima e simplificando chegamos a
gxx=8y^2+30(2x+1)^3

Passo 5

Para gxy, derivamos gx=6x^2+6x-2y^2-6(2x+1)^2 em relação a y. Só o numerador depende de y:
partialpartial y(6x^2+6x-2y^2-6)=-4y,
portanto
gxy=-4y(2x+1)^2
Como as derivadas mistas são iguais, gyx=gxy.

Passo 6

Finalmente, para gyy derivamos gy=2y2x+1 em relação a y:
gyy=22x+1

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
gxx(x,y)=8y^2+30(2x+1)^3,
gxy(x,y)=gyx(x,y)=-4y(2x+1)^2,
gyy(x,y)=22x+1

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