Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(g) g(x, y, z)=-x y^2z-2 y.

Passo 1

A função dada é g(x, y, z) = − x y²/(z − 2y). O conteúdo é derivadas parciais de segunda ordem de uma função de três variáveis, e vamos usar a regra do quociente e, depois, regra do produto para obter todas as derivadas.

Passo 2

Para a primeira derivada parcial em relação a x, y e z, tratamos y e z constantes em gₓ:

Passo 3

Calculando gₓ temos
gx = ∂∂xl(−x y^2z−2yr) = −y^2z−2y

Passo 4

Para g_y, aplicamos a regra do quociente com N = −x y² e D = z−2y:
gy = N' D − N D'D^2 = (−2xy)(z−2y) − (−x y^2)(−2)(z−2y)^2 = −2xy(z−y)(z−2y)^2

Passo 5

Para g_z, como só o denominador depende de z,
gz = −ND^2 = x y^2(z−2y)^2

Passo 6

Agora as segundas parciais. Primeiro gₓₓ = ∂/∂x(−y²/(z−2y)) = 0, pois não há x na expressão.

Passo 7

Para gₓᵧ, derivamos gₓ = −y²/(z−2y) em relação a y:
gxy = (−2y)(z−2y) − (−y^2)(−2)(z−2y)^2 = −2y(z−y)(z−2y)^2

Passo 8

Para gₓ𝓏, derivamos gₓ = −y²/(z−2y) em relação a z:
gxz = −y^2 cdot l(−1r)/(z−2y)^2 = y^2(z−2y)^2

Passo 9

Em gᵧᵧ, usamos produto e a expressão g_y = −2xy(z−y)(z−2y)^{−2}, o que leva a
gyy = x,−2z^2(z−2y)^3 = −2x z^2(z−2y)^3

Passo 10

Para gᵧ𝓏, derivando g_y em relação a z:
gyz = 2xyz(z−2y)^3

Passo 11

Finalmente g𝓏𝓏, derivando g_z = x y^2 (z−2y)^{−2} em relação a z:
gzz = −2x y^2/(z−2y)^3

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
gxx = 0
gxy = -2y(z - y)(z - 2y)^2
gxz = y^2(z - 2y)^2
gyy = -2x z^2(z - 2y)^3
gyz = 2x y z(z - 2y)^3
gzz = -2x y^2(z - 2y)^3

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