Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(g)
.
(g)
Passo 1
A função dada é g(x, y, z) = − x y²/(z − 2y). O conteúdo é derivadas parciais de segunda ordem de uma função de três variáveis, e vamos usar a regra do quociente e, depois, regra do produto para obter todas as derivadas.
Passo 2
Para a primeira derivada parcial em relação a x, y e z, tratamos y e z constantes em gₓ:
Passo 3
Calculando gₓ temos
Passo 4
Para g_y, aplicamos a regra do quociente com N = −x y² e D = z−2y:
Passo 5
Para g_z, como só o denominador depende de z,
Passo 6
Agora as segundas parciais. Primeiro gₓₓ = ∂/∂x(−y²/(z−2y)) = 0, pois não há x na expressão.
Passo 7
Para gₓᵧ, derivamos gₓ = −y²/(z−2y) em relação a y:
Passo 8
Para gₓ𝓏, derivamos gₓ = −y²/(z−2y) em relação a z:
Passo 9
Em gᵧᵧ, usamos produto e a expressão g_y = −2xy(z−y)(z−2y)^{−2}, o que leva a
Passo 10
Para gᵧ𝓏, derivando g_y em relação a z:
Passo 11
Finalmente g𝓏𝓏, derivando g_z = x y^2 (z−2y)^{−2} em relação a z:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são: