O que se pede: encontrar a função u(x,y) que satisfaz a equação de Laplace acima (ou seja, é harmônica) no interior e que atende essas condições na fronteira. \n
Informações relevantes dadas:
PDE: \partial_x^2 u+\partial_y^2 u=0 em 0<x<1,\;0<y<1.
Condições em y: Dirichlet em y=0 e y=1: u(x,0)=0, u(x,1)=2-3\cos(2\pi x).
Condições em x: Neumann em x=0 e x=1: \partial_x u(0,y)=\partial_x u(1,y)=0.
Domínio é retângulo unitário, então é natural tentar separar variáveis e expandir as condições em séries em x compatíveis com as condições de Neumann.]
Passo 2
Ideia do método (separação de variáveis + série em autovetores em x). Vou procurar soluções da forma
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo na PDE:
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0.
Dividindo por X(x)Y(y) (quando não nulos) obtemos
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)} = 0.
Cada termo depende de uma variável diferente, logo cada um é igual a uma constante -\lambda. Assim obtemos o sistema de EDOs:
onde \lambda é o separador (constante). Agora uso as condições em x: \partial_x u(0,y)=0 e \partial_x u(1,y)=0. Para u=X(x)Y(y) isso dá X'(0)=0 e X'(1)=0. Vamos achar os autovalores \lambda e autovetores X.
Resolver X''+\lambda X=0 com X'(0)=X'(1)=0.
Caso \lambda=0: X''=0 => X(x)=A+Bx. A condição X'(0)=B=0 dá X constante: X(x)=A (autovetor constante).
Caso \lambda>0: escreva \lambda=\mu^{2} com \mu>0. Solução geral X(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x). A condição X'(0)=0 implica B\mu=0 => B=0. Então X(x)=A\cos(\mu x). A condição X'(1)= -A\mu\sin(\mu)=0 implica \sin(\mu)=0 => \mu=n\pi, n\in\mathbb{Z}. Como \mu>0 tomamos n=1,2,\dots.
Logo os autovalores são \lambda_n=(n\pi)^2 com autovetores X_n(x)=\cos(n\pi x) para n\ge1, e o caso n=0 corresponde à função constante X_0(x)=1 (com \lambda_0=0).
Assim é natural expandir u como série de funções próprias em x que respeitam as Neumann em x:
Comentários rápidos (didáticos e práticos): cada passo consiste em
separar variáveis e obter modos em x compatíveis com as condições de Neumann (por isso aparecem \cos(n\pi x)),
para cada modo resolver a EDO em y (que dá \operatorname{sinh}/\operatorname{cosh} para \lambda>0 e linear para \lambda=0),
impor as condições em y para determinar coeficientes através da expansão dos dados de contorno em séries de cossenos (use ortogonalidade para calcular os coeficientes).
A solução obtida satisfaz a PDE (cada modo é harmônico) e as condições de contorno por construção. Força aí — esse procedimento é padrão e rápido de aplicar na prova quando você reconhece as condições de Neumann em x.