Questão 2.

(15P.) Obtenha a solução do problema com valores na fronteira
\begin{aligned} & \partial_{x}^{2} u+\partial_{y}^{2} u=0, \quad 0<x<1,0<y<1 \\\ & u(x, 0)=0, u(x, 1)=2-3 \cos (2 \pi x), \quad 0 \leq x \leq 1 \\\ & \partial_{x} u(0, y)=0, \partial_{x} u(1, y)=0, \quad 0 \leq y \leq 1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o seguinte problema de contorno no quadrado 0<x<1,\;0<y<1:
\begin{aligned} & \partial_{x}^{2} u+\partial_{y}^{2} u=0,\\[4pt] & u(x,0)=0,\qquad u(x,1)=2-3\cos(2\pi x),\quad 0\le x\le1,\\[4pt] & \partial_{x}u(0,y)=0,\qquad \partial_{x}u(1,y)=0,\quad 0\le y\le1. \end{aligned}
O que se pede: encontrar a função u(x,y) que satisfaz a equação de Laplace acima (ou seja, é harmônica) no interior e que atende essas condições na fronteira. \n
Informações relevantes dadas:
  • PDE: \partial_x^2 u+\partial_y^2 u=0 em 0<x<1,\;0<y<1.
  • Condições em y: Dirichlet em y=0 e y=1: u(x,0)=0, u(x,1)=2-3\cos(2\pi x).
  • Condições em x: Neumann em x=0 e x=1: \partial_x u(0,y)=\partial_x u(1,y)=0.
  • Domínio é retângulo unitário, então é natural tentar separar variáveis e expandir as condições em séries em x compatíveis com as condições de Neumann.]

Passo 2

Ideia do método (separação de variáveis + série em autovetores em x). Vou procurar soluções da forma
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo na PDE:
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0.
Dividindo por X(x)Y(y) (quando não nulos) obtemos
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)} = 0.
Cada termo depende de uma variável diferente, logo cada um é igual a uma constante -\lambda. Assim obtemos o sistema de EDOs:
X''(x)+\lambda X(x)=0,\qquad Y''(y)-\lambda Y(y)=0,
onde \lambda é o separador (constante). Agora uso as condições em x: \partial_x u(0,y)=0 e \partial_x u(1,y)=0. Para u=X(x)Y(y) isso dá X'(0)=0 e X'(1)=0. Vamos achar os autovalores \lambda e autovetores X.
Resolver X''+\lambda X=0 com X'(0)=X'(1)=0.
  • Caso \lambda=0: X''=0 => X(x)=A+Bx. A condição X'(0)=B=0 X constante: X(x)=A (autovetor constante).
  • Caso \lambda>0: escreva \lambda=\mu^{2} com \mu>0. Solução geral X(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x). A condição X'(0)=0 implica B\mu=0 => B=0. Então X(x)=A\cos(\mu x). A condição X'(1)= -A\mu\sin(\mu)=0 implica \sin(\mu)=0 => \mu=n\pi, n\in\mathbb{Z}. Como \mu>0 tomamos n=1,2,\dots.
    Logo os autovalores são \lambda_n=(n\pi)^2 com autovetores X_n(x)=\cos(n\pi x) para n\ge1, e o caso n=0 corresponde à função constante X_0(x)=1 (com \lambda_0=0).
Assim é natural expandir u como série de funções próprias em x que respeitam as Neumann em x:
u(x,y)=A_0(y) + \sum_{n=1}^{\infty} A_n(y)\cos(n\pi x).
Aqui cada A_n(y) satisfará uma EDO em y obtida pela separação.

Passo 3

Encontrar as equações para os coeficientes A_n(y).
Para n\ge1 usamos \lambda_n=(n\pi)^2. A equação correspondente para Y é
A_n''(y) - (n\pi)^2 A_n(y) = 0.
A solução geral é combinação de exponenciais, equivalente a combinação de \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}:
A_n(y)=\alpha_n\operatorname{cosh}(n\pi y)+\beta_n\operatorname{sinh}(n\pi y).
Para n=0 (caso \lambda=0) a equação é A_0''(y)=0, cuja solução geral é
A_0(y)=c_0 + d_0 y.
Agora aplicamos as condições em y. A condição em y=0 diz u(x,0)=0, ou seja
A_0(0) + \sum_{n=1}^{\infty} A_n(0)\cos(n\pi x) = 0 \quad\text{para }0\le x\le1.
Comparando coeficientes da expansão em \cos(n\pi x) (essas funções são ortogonais), obtemos
A_0(0)=0,\qquad A_n(0)=0\quad\text{para todo }n\ge1.
Isto implica:
A_0(0)=c_0=0 \quad\Rightarrow\quad A_0(y)=d_0 y,
e para n\ge1:
\alpha_n\operatorname{cosh}(0)+\beta_n\operatorname{sinh}(0)=\alpha_n\cdot1 + \beta_n\cdot0 =0 \quad\Rightarrow\quad \alpha_n=0.
Portanto para n\ge1 obtemos
A_n(y)=\beta_n\operatorname{sinh}(n\pi y).

Passo 4

Usar a condição u(x,1)=2-3\cos(2\pi x) para determinar as constantes. Escrevemos o lado direito como série em \cos(n\pi x):
u(x,1)=A_0(1) + \sum_{n=1}^{\infty} A_n(1)\cos(n\pi x) = 2 - 3\cos(2\pi x).
Definimos g(x)=2-3\cos(2\pi x). Vamos calcular os coeficientes da expansão de g na base \{1,\cos(n\pi x)\}.
Relembrando as fórmulas de coeficientes (ortogonalidade):
  • Coeficiente constante (nulo índice): a_0=\displaystyle\int_{0}^{1} g(x)\,dx (porque \int_0^1 1\cdot1 \,dx=1).
  • Para n\ge1: a_n = 2\displaystyle\int_{0}^{1} g(x)\cos(n\pi x)\,dx (porque \displaystyle\int_0^1 \cos^2(n\pi x)\,dx=\tfrac12).
Calcule a_0:
a_0=\int_{0}^{1} \big(2-3\cos(2\pi x)\big)\,dx = 2\int_0^1 dx -3\int_0^1\cos(2\pi x)\,dx.
A integral de \cos(2\pi x) num período completo é zero, então
a_0 = 2\cdot 1 -3\cdot 0 = 2.
Calcule a_n para n\ge1:
a_n = 2\int_{0}^{1} \big(2-3\cos(2\pi x)\big)\cos(n\pi x)\,dx = 4\int_0^1\cos(n\pi x)\,dx \;-\;6\int_0^1\cos(2\pi x)\cos(n\pi x)\,dx.
A primeira integral é
\int_0^1\cos(n\pi x)\,dx = \left.\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\right|_0^1 = 0
para inteiro n. Para a segunda integral usamos a fórmula do produto em soma:
\cos(2\pi x)\cos(n\pi x)=\tfrac12\big(\cos((2+n)\pi x)+\cos((2-n)\pi x)\big).
Integrando de 0 a 1, cada termo \cos(k\pi x) dá zero, exceto quando k=0. O caso k=0 ocorre quando 2-n=0, isto é n=2. Logo:
  • Se n\neq2, \displaystyle\int_0^1\cos(2\pi x)\cos(n\pi x)\,dx=0 e, portanto, a_n=0.
  • Se n=2, então
\int_0^1\cos(2\pi x)\cos(2\pi x)\,dx = \int_0^1 \cos^2(2\pi x)\,dx = \tfrac12,
portanto
a_2 = -6\cdot \tfrac12 = -3.
Resumindo os coeficientes:
a_0=2,\qquad a_2=-3,\qquad a_n=0\\ \text{ para }n\neq 0,2.
Agora relacionamos com os A_n em y=1:
A_0(1)=a_0=2,\qquad A_n(1)=a_n \\ (n\ge1).
Como A_0(y)=d_0 y, temos A_0(1)=d_0=2, então
A_0(y)=2y.
Para n\ge1 temos A_n(y)=\beta_n\operatorname{sinh}(n\pi y) e A_n(1)=\beta_n\operatorname{sinh}(n\pi)=a_n. Logo
\beta_n = \frac{a_n}{\operatorname{sinh}(n\pi)}.
Apenas n=2 tem a_2=-3, então
A_2(y)=\frac{-3}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\operatorname{sinh}(2\pi y),
e todos os outros A_n(y) com n\neq2 são nulos.

Passo 5

Montando a solução final: somando o termo constante em x e o termo n=2,
u(x,y)=A_0(y) + A_2(y)\cos(2\pi x) = 2y \;-\; 3\,\frac{\operatorname{sinh}(2\pi y)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\cos(2\pi x).
Comentários rápidos (didáticos e práticos): cada passo consiste em
  • separar variáveis e obter modos em x compatíveis com as condições de Neumann (por isso aparecem \cos(n\pi x)),
  • para cada modo resolver a EDO em y (que dá \operatorname{sinh}/\operatorname{cosh} para \lambda>0 e linear para \lambda=0),
  • impor as condições em y para determinar coeficientes através da expansão dos dados de contorno em séries de cossenos (use ortogonalidade para calcular os coeficientes).
    A solução obtida satisfaz a PDE (cada modo é harmônico) e as condições de contorno por construção. Força aí — esse procedimento é padrão e rápido de aplicar na prova quando você reconhece as condições de Neumann em x.

Resposta

u(x,y)=2y - 3\,\frac{\operatorname{sinh}(2\pi y)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\cos(2\pi x).

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