Determine as derivadas parciais indicadas:
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente encontrar a derivada parcial de $ g(x, y) = \frac{x y}{\sqrt{x{2}+y{2}}} $ em relação a $ y $, no ponto $ (2,1) $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que vamos derivar em relação a $ y $. Nossa função é:
Queremos encontrar $ g_y(2,1) $, ou seja, a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $ no ponto onde $ x = 2 $ e $ y = 1 $.
Passo 3
Para encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $, usamos a regra do quociente. Se temos uma função $ \frac{u}{v} $, a derivada em relação a $ y $ é:
No nosso caso, $ u = x y $ e $ v = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $.
Passo 4
Vamos primeiro derivar $ u $ em relação a $ y $:
Agora, derivamos $ v $ em relação a $ y $. Sabemos que:
Usando a regra da cadeia:
Passo 5
Substituindo $ u’ $ e $ v’ $ na fórmula da regra do quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
E o denominador:
Então, a derivada parcial fica:
Passo 7
Agora, vamos substituir $ x = 2 $ e $ y = 1 $ na expressão da derivada parcial:
Sabemos que $ 5^{3/2} = 5 \cdot \sqrt{5} $, então:
Resposta
A derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $ no ponto $ (2,1) $ é $ \frac{8 \sqrt{5}}{25} $.