Determine as derivadas parciais indicadas:
(e) g(x, y)=x yraizx^2+y^2 ; gy(2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente encontrar a derivada parcial de $ g(x, y) = \frac{x y}{\sqrt{x{2}+y{2}}} $ em relação a $ y $, no ponto $ (2,1) $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos derivar em relação a $ y $. Nossa função é:
y
Queremos encontrar $ g_y(2,1) $, ou seja, a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $ no ponto onde $ x = 2 $ e $ y = 1 $.

Passo 3

Para encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $, usamos a regra do quociente. Se temos uma função $ \frac{u}{v} $, a derivada em relação a $ y $ é:
g
No nosso caso, $ u = x y $ e $ v = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $.

Passo 4

Vamos primeiro derivar $ u $ em relação a $ y $:
u
Agora, derivamos $ v $ em relação a $ y $. Sabemos que:
y
Usando a regra da cadeia:
u = x y implies u' = partialpartial y(x y) = x

Passo 5

Substituindo $ u’ $ e $ v’ $ na fórmula da regra do quociente:
u'

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
x cdot raizx^2 + y^2 - x y cdot yraizx^2 + y^2 = x (x^2 + y^2) - x y^2raizx^2 + y^2 = x x^2 + x y^2 - x y^2raizx^2 + y^2 = x^3raizx^2 + y^2
E o denominador:
(raizx^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2
Então, a derivada parcial fica:
gy = x^3raizx^2 + y^2 cdot (x^2 + y^2) = x^3(x^2 + y^2)^3/2

Passo 7

Agora, vamos substituir $ x = 2 $ e $ y = 1 $ na expressão da derivada parcial:
x = 2
Sabemos que $ 5^{3/2} = 5 \cdot \sqrt{5} $, então:
y = 1

Resposta

A derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $ no ponto $ (2,1) $ é $ \frac{8 \sqrt{5}}{25} $.

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