Determine todas as derivadas parciais (de
ordem) da função:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) = \frac{4x - y^{2}}{x + y} $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e entender como derivar funções que têm mais de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $.
A função $ g(x, y) $ é um quociente de duas funções de $ x $ e $ y $. Para derivar isso em relação a $ x $, usamos a regra do quociente, que diz:
Onde $ u = 4x - y^{2} $ e $ v = x + y $.
Vamos derivar cada parte:
- Derivada de $ u $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ v $ em relação a $ x $:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial y} $.
Novamente, usamos a regra do quociente. As funções continuam $ u = 4x - y^{2} $ e $ v = x + y $.
Vamos derivar cada parte em relação a $ y $:
- Derivada de $ u $ em relação a $ y $:
- Derivada de $ v $ em relação a $ y $:
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) = \frac{4x - y^{2}}{x + y} $ são:
e