Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
(b) g(x, y)=4 x-y^2x+y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) = \frac{4x - y^{2}}{x + y} $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e entender como derivar funções que têm mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $.
A função $ g(x, y) $ é um quociente de duas funções de $ x $ e $ y $. Para derivar isso em relação a $ x $, usamos a regra do quociente, que diz:
g
Onde $ u = 4x - y^{2} $ e $ v = x + y $.
Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de $ u $ em relação a $ x $:
x
  1. Derivada de $ v $ em relação a $ x $:
partial gpartial x
Agora, aplicando a regra do quociente:
g(x, y)
Vamos simplificar o numerador:
x
Então:
y

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial y} $.
Novamente, usamos a regra do quociente. As funções continuam $ u = 4x - y^{2} $ e $ v = x + y $.
Vamos derivar cada parte em relação a $ y $:
  1. Derivada de $ u $ em relação a $ y $:
g
  1. Derivada de $ v $ em relação a $ y $:
y
Aplicando a regra do quociente:
partial gpartial y
Vamos simplificar o numerador:
u = 4x - y^2
Então:
v = x + y

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) = \frac{4x - y^{2}}{x + y} $ são:
g(x, y) = 4x - y^2x + y
e
partial gpartial x = 4y + y^2(x + y)^2

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