Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(i) G(x, y, z)=cos (z)+sen(x^3)-2 cos (x y).

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . O conteúdo aqui é derivação de funções de várias variáveis e vamos precisar aplicar regras de derivada (produto, cadeia e derivada de funções trigonométricas).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:

Passo 3

Gx=partialpartial xl(cos(z)r)+partialpartial xl(sin(x^3)r)-2partialpartial xl(cos(xy)r)
O termo cos(z) não depende de x. Usando cadeia em sin(x^3) e em cos(xy) obtemos
Gx=3x^2cos(x^3)+2ysin(xy)
Analogamente,
Gy=2xsin(xy),
Gz=-sin(z)

Passo 4

Agora derivamos Gx em relação a x para achar Gxx. Em
Gx=3x^2cos(x^3)+2ysin(xy)
aplicamos produto e cadeia:
Gxx=6xcos(x^3)-9x^4sin(x^3)+2y^2cos(xy)

Passo 5

Em seguida, derivamos Gx em relação a y e z para obter Gxy e Gxz:
Gxy=partialpartial yl(3x^2cos(x^3)+2ysin(xy)r)=2sin(xy)+2xycos(xy),
Gxz=0, pois Gx não depende de z.

Passo 6

Agora derivamos Gy=2xsin(xy) em relação a y e z para achar Gyy e Gyz:
Gyy=2x^2cos(xy),
Gyz=0, pois Gy não depende de z.

Passo 7

Finalmente, derivamos Gz=-sin(z) em relação a z para obter Gzz:
Gzz=-cos(z)
Como a função é suficientemente suave, vale a simetria Gyx=Gxy, Gzx=Gxz, Gzy=Gyz.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
G_{xx}=6x\cos(x3)-9x4\sin(x3)+2y2\cos(xy)
G_{xy}=G_{yx}=2\sin(xy)+2xy\cos(xy)
G_{xz}=G_{zx}=0
G_{yy}=2x^2\cos(xy)
G_{yz}=G_{zy}=0
G_{zz}=-\cos(z)

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