Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(i)
.
(i)
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. O conteúdo aqui é derivação de funções de várias variáveis e vamos precisar aplicar regras de derivada (produto, cadeia e derivada de funções trigonométricas).
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 3
O termo
Analogamente,
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
para achar
. Em
aplicamos produto e cadeia:
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
e
para obter
e
:
Passo 6
Agora derivamos
em relação a
e
para achar
e
:
Passo 7
Finalmente, derivamos
em relação a
para obter
:
Como a função é suficientemente suave, vale a simetria
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
G_{xx}=6x\cos(x3)-9x4\sin(x3)+2y2\cos(xy)
G_{xy}=G_{yx}=2\sin(xy)+2xy\cos(xy)
G_{xz}=G_{zx}=0
G_{yy}=2x^2\cos(xy)
G_{yz}=G_{zy}=0
G_{zz}=-\cos(z)