Determine as derivadas parciais indicadas:
\quad f(x, y, z)=\frac{y}{x+y+z}, f_{y}(2,1,-1) \quad

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=\dfrac{y}{x+y+z} e pede a derivada parcial de f em relação a y no ponto (2,1,-1), isto é, f_{y}(2,1,-1).
Informações relevantes:
  • A função é f(x,y,z)=\dfrac{y}{x+y+z}.
  • O ponto onde devemos avaliar a derivada parcial é (x,y,z)=(2,1,-1).

Passo 2

O que é a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial y}?\n
  • É a taxa de variação de f quando só a variável y varia e as demais ( x e z) ficam fixas.\n
  • Formalmente podemos escrever
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}{h}.
Na prática, para funções racionais como esta, usamos regras de derivação tratando x e z como constantes.

Passo 3

Escolhemos reescrever f como produto para aplicar produto e cadeia de forma clara:
f(x,y,z)=y\cdot (x+y+z)^{-1}.
Agora aplicamos a regra do produto: se u(y)=y e v(y)=(x+y+z)^{-1} (aqui x e z são constantes), então
\frac{\partial f}{\partial y}=u'(y)v(y)+u(y)v'(y).
Calculamos cada peça:
  • u'(y)=1 porque a derivada de y em relação a y é 1.
  • Para v(y)=(x+y+z)^{-1} usamos a regra da cadeia: a derivada de t^{-1} em relação a t é -t^{-2}, e t=x+y+z tem derivada 1 em relação a y. Assim
v'(y)=-1\cdot (x+y+z)^{-2}\cdot 1=-(x+y+z)^{-2}.
Substituindo em \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y} = 1\cdot (x+y+z)^{-1} + y\cdot\bigl(-(x+y+z)^{-2}\bigr).
Ou seja,
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{y}{(x+y+z)^{2}}.

Passo 4

Fazemos a simplificação algébrica para obter uma fração única com denominador (x+y+z)^{2}:
\frac{1}{x+y+z}-\frac{y}{(x+y+z)^{2}}=\frac{(x+y+z)-y}{(x+y+z)^{2}}=\frac{x+z}{(x+y+z)^{2}}.
Portanto a expressão geral da derivada parcial é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\frac{x+z}{(x+y+z)^{2}}.

Passo 5

Agora avaliamos no ponto (2,1,-1). Primeiro calculamos x+y+z e x+z no ponto:
x+y+z = 2+1+(-1)=2,
x+z = 2+(-1)=1.
Substituindo na fórmula:
\frac{\partial f}{\partial y}(2,1,-1)=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}.
Observação rápida: o denominador (x+y+z)^{2} não é zero no ponto (é 4), então a derivada parcial está bem definida.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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