Determine as derivadas parciais indicadas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, isto é,
.
Informações relevantes:
- A função é
. - O ponto onde devemos avaliar a derivada parcial é
.
Passo 2
O que é a derivada parcial
?\n
- É a taxa de variação de
quando só a variável varia e as demais ( e ) ficam fixas.\n - Formalmente podemos escrever
Na prática, para funções racionais como esta, usamos regras de derivação tratando
e
como constantes.
Passo 3
Escolhemos reescrever
como produto para aplicar produto e cadeia de forma clara:
Agora aplicamos a regra do produto: se
e
(aqui
e
são constantes), então
Calculamos cada peça:
-
porque a derivada de em relação a é . - Para
usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é , e tem derivada em relação a . Assim
Substituindo em
:
Ou seja,
Passo 4
Fazemos a simplificação algébrica para obter uma fração única com denominador
:
Portanto a expressão geral da derivada parcial é
Passo 5
Agora avaliamos no ponto
. Primeiro calculamos
e
no ponto:
Substituindo na fórmula:
Observação rápida: o denominador
não é zero no ponto (é
), então a derivada parcial está bem definida.