Determine as derivadas parciais de 1^{\mathrm{a}} ordem das seguintes funções:
\quad w=\ln (x+2 y+3 z)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
w=\ln(x+2y+3z).
Informações dadas:
w \text{ é função de } x,y,z \text{ e o argumento do logaritmo é } x+2y+3z.éçãé
Perguntas explícitas que vamos responder:
\text{Calcular }\frac{\partial w}{\partial x},\quad \frac{\partial w}{\partial y},\quad \frac{\partial w}{\partial z}.
Condição de domínio (importante): devemos ter
x+2y+3z>0,
pois o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática): derivada parcial em relação a uma variável significa derivar tratando as outras como constantes. Aqui o que facilita muito é usar a regra da cadeia: se temos uma função composta w=\ln(u) com u=u(x,y,z), então a derivada parcial de w em relação a uma variável (por exemplo x) é
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{d}{du}\big(\ln u\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Agora explico as duas peças dessa regra:
  1. Derivada do logaritmo natural: para u>0,
\frac{d}{du}\big(\ln u\big)=\frac{1}{u}.
Isto é fundamental e fácil de decorar: a derivada de \ln é 1/ argumento.
2. Derivada parcial do argumento u(x,y,z): basta derivar u como função usual, tratando as outras variáveis como constantes.
No nosso caso defino
u(x,y,z)=x+2y+3z,
que é uma função linear. Aderência: a derivada de x em relação a x é 1; a derivada de 2y em relação a x é 0 (porque y é constante quando derivamos em relação a x); e assim por diante.

Passo 3

Calcular \frac{\partial u}{\partial x} para u=x+2y+3z.
Derivando termo a termo e lembrando que y,z são constantes ao derivar em relação a x,
\frac{\partial u}{\partial x}=1+0+0=1.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para obter \frac{\partial w}{\partial x}.
Usando \frac{d}{du}(\ln u)=\frac{1}{u} e \frac{\partial u}{\partial x}=1,
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{1}{u}\cdot 1=\frac{1}{x+2y+3z}.
Repare: o denominador é sempre o argumento do logaritmo; isso é típico quando derivamos \ln(\text{algo}).

Passo 5

Calcular \frac{\partial u}{\partial y} para u=x+2y+3z.
Derivando em relação a y (agora x,z são constantes),
\frac{\partial u}{\partial y}=0+2+0=2.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia para obter \frac{\partial w}{\partial y}.
Usando \frac{d}{du}(\ln u)=\frac{1}{u} e \frac{\partial u}{\partial y}=2,
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{1}{u}\cdot 2=\frac{2}{x+2y+3z}.

Passo 7

Calcular \frac{\partial u}{\partial z} para u=x+2y+3z.
Derivando em relação a z (com x,y constantes),
\frac{\partial u}{\partial z}=0+0+3=3.

Passo 8

Aplicar a regra da cadeia para obter \frac{\partial w}{\partial z}.
Com \frac{d}{du}(\ln u)=\frac{1}{u} e \frac{\partial u}{\partial z}=3,
\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{1}{u}\cdot 3=\frac{3}{x+2y+3z}.

Passo 9

Check rápido e exemplo numérico (para fixar): escolha x=1,y=0,z=0 (verificando que 1+0+0>0). Então
\frac{\partial w}{\partial x}\Big|_{(1,0,0)}=\frac{1}{1}=1,\quad \frac{\partial w}{\partial y}\Big|_{(1,0,0)}=\frac{2}{1}=2,\quad \frac{\partial w}{\partial z}\Big|_{(1,0,0)}=\frac{3}{1}=3.
Isso faz sentido: como o argumento é x+2y+3z, as “importâncias” de y e z vêm multiplicadas pelos coeficientes 2 e 3.

Passo 10

Dica de prova (motivação rápida): memorize que para w=\ln(u(x,y,z))
\frac{\partial w}{\partial v}=\frac{1}{u}\frac{\partial u}{\partial v}
para qualquer variável v. Se u for linear como aqui, \partial u/\partial v é apenas o coeficiente da variável v na expressão de u.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=\frac{1}{x+2y+3z}
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}=\frac{2}{x+2y+3z}
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}=\frac{3}{x+2y+3z}

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