Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é,
u=x^{4} y{3}-y{4}
u=x^{4} y{3}-y{4}
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida para a função dada, isto é, que
.
A função fornecida é
A função fornecida é
Informações relevantes: a função é um polinômio em
e
(coeficientes constantes), definida para todos os pares
.
Passo 2
O que vamos calcular: as derivadas parciais de segunda ordem mistas
e
.
Estratégia: primeiro calcular (derivada parcial de
em relação a
mantendo
constante) e então derivar esse resultado em relação a
para obter
. Depois calcular
e derivar em relação a
para obter
. Por fim, comparar.
Estratégia: primeiro calcular
Dica rápida sobre regras de derivação que usaremos:
- Regra da potência: para
, . Aqui pode ser ou . - Constante em relação à variável: ao derivar em relação a
, tudo que não depende de (por exemplo ou potências de ) é tratado como constante e sai como fator multiplicativo.
Passo 3
Calcular
(derivada parcial de
em relação a
).
A função é
. Ao derivar em relação a
, o termo
não depende de
, então sua derivada é
. Para o termo
,
é constante frente a
, logo aplicamos a regra da potência em
e mantemos
multiplicando:
Explanação: usamos
e puxamos o fator
porque é constante em relação a
.
Passo 4
Calcular
(derivar
em relação a
).
Temos
. Agora
é constante em relação a
, então aplicamos a regra da potência em
:
Como
, obtemos
Passo 5
Calcular
(derivada parcial de
em relação a
).
Partimos de
. Agora
é constante em relação a
. Aplicando a regra da potência em cada termo:
Passo 6
Calcular
(derivar
em relação a
).
Temos
. Ao derivar em relação a
, o termo
é constante (não depende de
) e sua derivada é
. Para o termo
,
é constante em relação a
, então:
Passo 7
Comparação e verificação das condições: encontramos
portanto
para todo
.
Sobre a hipótese do teorema (continuidade das segundas derivadas): a função é um polinômio, e polinômios têm derivadas de todas as ordens que são contínuas em todo o plano. Logo a condição necessária para aplicar o teorema está satisfeita.
Força aí — concluímos que a igualdade das mistas vale e mostramos passo a passo como chegar nela.