Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, u_{x y}=u_{y x}
u=x^{4} y{3}-y{4}

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida para a função dada, isto é, que \,u_{xy}=u_{yx}\,.
A função fornecida é
u = x^{4}y^{3} - y^{4}.
Informações relevantes: a função é um polinômio em x e y (coeficientes constantes), definida para todos os pares (x,y).

Passo 2

O que vamos calcular: as derivadas parciais de segunda ordem mistas \,u_{xy} e \,u_{yx}.
Estratégia: primeiro calcular \,u_x (derivada parcial de u em relação a x mantendo y constante) e então derivar esse resultado em relação a y para obter \,u_{xy}. Depois calcular \,u_y e derivar em relação a x para obter \,u_{yx}. Por fim, comparar.
Dica rápida sobre regras de derivação que usaremos:
  • Regra da potência: para \,f(t)=t^{n}, \,f'(t)=n t^{n-1}. Aqui t pode ser x ou y.
  • Constante em relação à variável: ao derivar em relação a x, tudo que não depende de x (por exemplo y ou potências de y) é tratado como constante e sai como fator multiplicativo.

Passo 3

Calcular \,u_x (derivada parcial de u em relação a x).
A função é \,u = x^{4}y^{3} - y^{4}. Ao derivar em relação a x, o termo -y^{4} não depende de x, então sua derivada é 0. Para o termo x^{4}y^{3}, y^{3} é constante frente a x, logo aplicamos a regra da potência em x^{4} e mantemos y^{3} multiplicando:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}y^{3}\big) - \frac{\partial}{\partial x}\big(y^{4}\big)
u_x = 4x^{3}\,y^{3} - 0
u_x = 4x^{3}y^{3}.
Explanação: usamos \frac{d}{dx}x^{4}=4x^{3} e puxamos o fator y^{3} porque é constante em relação a x.

Passo 4

Calcular \,u_{xy} (derivar u_x em relação a y).
Temos \,u_x = 4x^{3}y^{3}. Agora x^{3} é constante em relação a y, então aplicamos a regra da potência em y^{3}:
u_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\big(4x^{3}y^{3}\big) = 4x^{3}\cdot \frac{d}{dy}y^{3}.
Como \frac{d}{dy}y^{3}=3y^{2}, obtemos
u_{xy} = 4x^{3}\cdot 3y^{2} = 12x^{3}y^{2}.

Passo 5

Calcular \,u_y (derivada parcial de u em relação a y).
Partimos de \,u = x^{4}y^{3} - y^{4}. Agora x^{4} é constante em relação a y. Aplicando a regra da potência em cada termo:
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{4}y^{3}\big) - \frac{\partial}{\partial y}\big(y^{4}\big)
u_y = x^{4}\cdot \frac{d}{dy}y^{3} - 4y^{3}
u_y = x^{4}\cdot 3y^{2} - 4y^{3}
u_y = 3x^{4}y^{2} - 4y^{3}.

Passo 6

Calcular \,u_{yx} (derivar u_y em relação a x).
Temos \,u_y = 3x^{4}y^{2} - 4y^{3}. Ao derivar em relação a x, o termo -4y^{3} é constante (não depende de x) e sua derivada é 0. Para o termo 3x^{4}y^{2}, y^{2} é constante em relação a x, então:
u_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{4}y^{2}\big) - \frac{\partial}{\partial x}\big(4y^{3}\big)
u_{yx} = 3y^{2}\cdot \frac{d}{dx}x^{4} - 0
u_{yx} = 3y^{2}\cdot 4x^{3} = 12x^{3}y^{2}.

Passo 7

Comparação e verificação das condições: encontramos
u_{xy} = 12x^{3}y^{2}\quad\text{e}\quad u_{yx} = 12x^{3}y^{2},
portanto \,u_{xy}=u_{yx} para todo (x,y).
Sobre a hipótese do teorema (continuidade das segundas derivadas): a função é um polinômio, e polinômios têm derivadas de todas as ordens que são contínuas em todo o plano. Logo a condição necessária para aplicar o teorema está satisfeita.
Força aí — concluímos que a igualdade das mistas vale e mostramos passo a passo como chegar nela.

Resposta

u_{xy}=u_{yx}=12x^{3}y^{2}

Exercícios relacionados