Determine as derivadas parciais indicadas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada parcial em relação a
avaliada no ponto
, ou seja
.
Informações relevantes: a expressão explícita de e o ponto
.
Informações relevantes: a expressão explícita de
Passo 2
Definição e regra que vamos usar (explicação didática):
A derivada parcial é a derivada de
em relação a
tratando
como constante. Para uma função composta
vale a regra da cadeia:
A derivada parcial
Aqui podemos identificar
Para simplificar a notação, defino
Então
. Vou calcular
passo a passo: como
, aplico a regra da cadeia e a derivada da potência:
Observação: nesse cálculo tratei
como constante, por isso a derivada de
é zero.
Passo 3
Agora uso a fórmula da derivada da função logaritmo com
:
Como
e já achamos
, temos
Passo 4
Simplificação algébrica (passo a passo):
Primeiro coloque as parcelas sobre um denominador comum :
Primeiro coloque as parcelas sobre um denominador comum
Substituindo na expressão de
:
Observe que
é igual a
, então cancela com o denominador
:
Essa é uma forma muito elegante: a derivada parcial em
depende apenas da distância
ao ponto origem.
Passo 5
Avaliação no ponto
:
Calculo primeiro .
Usando a expressão , obtemos
Calculo primeiro
Usando a expressão