Determine as derivadas parciais indicadas:
\quad f(x, y)=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right), f_{x}(3,4) \quad

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\ln\!\left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)
e pede a derivada parcial em relação a x avaliada no ponto (3,4), ou seja f_{x}(3,4).
Informações relevantes: a expressão explícita de f e o ponto (x,y)=(3,4).

Passo 2

Definição e regra que vamos usar (explicação didática):
A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x tratando y como constante. Para uma função composta \ln(u(x,y)) vale a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\ln(u)=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui podemos identificar
u(x,y)=x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Para simplificar a notação, defino
r(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Então u(x,y)=x+r(x,y). Vou calcular \frac{\partial r}{\partial x} passo a passo: como r=(x^{2}+y^{2})^{1/2}, aplico a regra da cadeia e a derivada da potência:
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{r}.
Observação: nesse cálculo tratei y como constante, por isso a derivada de y^{2} é zero.

Passo 3

Agora uso a fórmula da derivada da função logaritmo com u=x+r:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x+r}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+r).
Como \frac{\partial}{\partial x}(x+r)=1+\frac{\partial r}{\partial x} e já achamos \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}, temos
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x+r}\left(1+\frac{x}{r}\right).

Passo 4

Simplificação algébrica (passo a passo):
Primeiro coloque as parcelas sobre um denominador comum r:
1+\frac{x}{r}=\frac{r+x}{r}.
Substituindo na expressão de \frac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x+r}\cdot\frac{r+x}{r}.
Observe que r+x é igual a x+r, então cancela com o denominador x+r:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{r}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Essa é uma forma muito elegante: a derivada parcial em x depende apenas da distância r ao ponto origem.

Passo 5

Avaliação no ponto (3,4):
Calculo primeiro r(3,4)=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Usando a expressão \frac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, obtemos
f_{x}(3,4)=\frac{1}{5}.

Resposta

\dfrac{1}{5}

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