Determine as derivadas parciais indicadas.
u=x^2 y^3 t^4 ; ux, uy, u1

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
u(x,y,t)=x^2y^3t^4
Em outras palavras, a gente vai encontrar as derivadas em relação a cada variável mantendo as outras constantes; o conteúdo é derivação parcial usando a regra de potência.

Passo 2

Para calcular ux, tratamos y e t como constantes e derivamos x^2 em relação a x. Usando a regra de potência ( d(x^n)/dx=nx^n-1), temos
ux = 2x^2-1 ;y^3 t^4 = 2x y^3 t^4

Passo 3

Para calcular uy, tratamos x e t como constantes e derivamos y^3 em relação a y. Pela regra de potência,
uy = x^2 cdot 3y^3-1 ;t^4 = 3x^2 y^2 t^4

Passo 4

Para calcular ut (que corresponde a u1 no enunciado), tratamos x e y como constantes e derivamos t^4 em relação a t. Pela regra de potência,
ut = x^2 y^3 cdot 4t^4-1 = 4x^2 y^3 t^3

Resposta

ux = 2x y^3 t^4, ; uy = 3x^2 y^2 t^4, ; ut = 4x^2 y^3 t^3

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