Determine as derivadas parciais indicadas, utilizando dois métodos: (a) regra da cadeia, (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação. (Pg 956)
u=x^2-y^2 ; x=3 r-s ; y=r+2 s ; partial upartial r ; partial upartial s

Passo 1

O enunciado define a função
u = x^2 - y^2,
com as variáveis auxiliares
x = 3r - s, y = r + 2s,
e pede as derivadas parciais partial u/partial r e partial u/partial s por dois métodos:
(a) aplicando a regra da cadeia para funções compostas,
(b) fazendo as substituições de x e y antes de diferenciar.

Passo 2

Pelo método da regra da cadeia usamos as fórmulas
partial upartial r = partial upartial x,partial xpartial r + partial upartial y,partial ypartial r, partial upartial s = partial upartial x,partial xpartial s + partial upartial y,partial ypartial s
Como
partial upartial x = 2x, partial upartial y = -2y, partial xpartial r = 3, partial xpartial s = -1, partial ypartial r = 1, partial ypartial s = 2,
substituímos e obtém-se
partial upartial r = 2xcdot3 + (-2y)cdot1 = 6x - 2y, partial upartial s = 2xcdot(-1) + (-2y)cdot2 = -2x - 4y
Finalmente, voltando a r e s via x=3r-s e y=r+2s, temos
partial upartial r = 6(3r - s) - 2(r + 2s) = 18r - 6s - 2r - 4s = 16r - 10s,
partial upartial s = -2(3r - s) - 4(r + 2s) = -6r + 2s - 4r - 8s = -10r - 6s

Passo 3

Pelo método da substituição direta escrevemos
u = (3r - s)^2 - (r + 2s)^2
Expandindo e simplificando:
u = 9r^2 - 6rs + s^2 - l(r^2 + 4rs + 4s^2r) = 8r^2 - 10rs - 3s^2
Dessa forma
partial upartial r = 16r - 10s, partial upartial s = -10r - 6s,
que coincide com o resultado pelo método da cadeia.

Resposta

partial upartial r = 16r - 10s, partial upartial s = -10r - 6s

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