Determine as derivadas parciais indicadas, utilizando dois métodos: (a) regra da cadeia, (b) fazendo as substituições de
e
antes da diferenciação. (Pg 956)
Passo 1
O enunciado define a função
com as variáveis auxiliares
e pede as derivadas parciais
e
por dois métodos:
(a) aplicando a regra da cadeia para funções compostas,
(b) fazendo as substituições de e
antes de diferenciar.
(a) aplicando a regra da cadeia para funções compostas,
(b) fazendo as substituições de
Passo 2
Pelo método da regra da cadeia usamos as fórmulas
Como
substituímos e obtém-se
Finalmente, voltando a
e
via
e
, temos
Passo 3
Pelo método da substituição direta escrevemos
Expandindo e simplificando:
Dessa forma
que coincide com o resultado pelo método da cadeia.