Questão 2: Considere os seguintes vetores de R^3: U=(1,0,-1) e V=(0,1,0).
(a) Determine a forma geral de um vetor perpendicular a U. Explique porque sua resposta contém duas variáveis livres.
(b) Determine (caso existam) as equações das retas que passam pelo ponto ( 1,2,3 ), são perpendiculares ao vetor U e fazem ângulo de pi3 com o vetor V.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores em R^3
U=(1,0,-1), V=(0,1,0)
e pede:
(a) a forma geral de um vetor perpendicular a U,
(b) as retas que passam por (1,2,3), são perpendiculares a U e fazem ângulo pi/3 com V.

Passo 2

Para um vetor genérico (x,y,z) ser perpendicular a U deve valer
(x,y,z)cdot(1,0,-1)=x - z = 0
Logo z=x. Podemos então escrever
(x,y,z)=(t,s,t),
com t e s livres. Temos duas variáveis livres porque uma única equação linear em três incógnitas define um subespaço de dimensão 3-1=2.

Passo 3

Na parte (b) buscamos um vetor direção D=(a,b,c) tal que
  1. Dperp U:
Dcdot U = a - c = 0 Longrightarrow c=a
  1. O ângulo entre D e V seja pi/3, ou seja
costheta =Dcdot V|D||V| =braiza^2+b^2+c^2,cdot1 =12
Dessa igualdade tiramos
b = raiza^2+b^2+c^22 Longrightarrow 4b^2 = a^2+b^2+c^2
Como c=a, isto dá
4b^2 = 2a^2 + b^2 Longrightarrow 3b^2 = 2a^2 Longrightarrow b = pm araiz23

Passo 4

Para simplificar a escrita escolhemos a=raiz3. Então
b = pmraiz2, c = a = raiz3
Assim surgem duas direções possíveis
D1 = (raiz3,;raiz2,;raiz3), D2 = (raiz3,;-raiz2,;raiz3)
As retas passam pelo ponto P0=(1,2,3), logo suas equações paramétricas são
L1:;(x,y,z) = (1,2,3) + t,(raiz3,raiz2,raiz3),
L2:;(x,y,z) = (1,2,3) + t,(raiz3,-raiz2,raiz3),
onde tinR.

Resposta

(a) (t,s,t), com t,sinR, pois basta satisfazer x-z=0, restando duas variáveis livres.
(b)
L1:;(x,y,z)=(1,2,3)+t,(raiz3,raiz2,raiz3), L2:;(x,y,z)=(1,2,3)+t,(raiz3,-raiz2,raiz3)

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