Questão 2: Considere os seguintes vetores de
e
.
(a) Determine a forma geral de um vetor perpendicular a
. Explique porque sua resposta contém duas variáveis livres.
(b) Determine (caso existam) as equações das retas que passam pelo ponto (
), são perpendiculares ao vetor
e fazem ângulo de
com o vetor
.
(a) Determine a forma geral de um vetor perpendicular a
(b) Determine (caso existam) as equações das retas que passam pelo ponto (
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores em
e pede:
(a) a forma geral de um vetor perpendicular a ,
(b) as retas que passam por , são perpendiculares a
e fazem ângulo
com
.
(a) a forma geral de um vetor perpendicular a
(b) as retas que passam por
Passo 2
Para um vetor genérico
ser perpendicular a
deve valer
Logo
. Podemos então escrever
com
e
livres. Temos duas variáveis livres porque uma única equação linear em três incógnitas define um subespaço de dimensão
.
Passo 3
Na parte (b) buscamos um vetor direção
tal que
-
:
- O ângulo entre
e seja , ou seja
Dessa igualdade tiramos
Como
, isto dá
Passo 4
Para simplificar a escrita escolhemos
. Então
Assim surgem duas direções possíveis
As retas passam pelo ponto
, logo suas equações paramétricas são
onde
.
Resposta
(a)
, com
, pois basta satisfazer
, restando duas variáveis livres.
(b)
(b)