Questão 4: Seja pi o plano que contém as retas
r1:ll x= & 2 t y= & t z= & 2-t onde t in R e r2:lll z & = & 2 x & = & y
(a) Determine a equação de pi.
(b) Escreva o vetor V=2 imath+1 jmath+2 k como a soma de 2 vetores U1 e U2, sendo U1 paralelo a pi e U2 ortogonal a pi.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano
e depois decompor o vetor , onde é paralelo a e é ortogonal a . Vamos usar produto vetorial para achar o vetor normal de e projeção de nesse normal.

Passo 2

Extraímos dois vetores diretores de pi: um da reta r1 e outro da reta r2.
Para r1 temos
vec v1=(2,1,-1)
e para r2 (fazendo s de parâmetro)
vec v2=(1,1,0)
O vetor normal vec n do plano é dado pelo produto vetorial
vec n=vec v1timesvec v2 = i&j&k 2&1&-1 1&1&0 =(1,-1,1)

Passo 3

Escolhemos o ponto em que as retas se cruzam, por exemplo em t=0 e s=0 ambas passam por (0,0,2). A equação do plano com normal vec n=(1,-1,1) e ponto A=(0,0,2) é
1,(x-0)-1,(y-0)+1,(z-2)=0
ou seja
x - y + z =2

Passo 4

Para decompor vec V=(2,1,2) em parte ortogonal e parte paralela, projetamos vec V em vec n. Temos
vec Vcdotvec n=2-1+2=3, |vec n|^2=1+1+1=3
A componente ortogonal é
U2 =vec Vcdotvec n|vec n|^2;vec n =33(1,-1,1) =(1,-1,1)
A componente paralela é
U1 =vec V-U2 =(2,1,2)-(1,-1,1) =(1,2,1)

Resposta

(a) ;x - y + z =2
(b) ;U1=(1,2,1) e U2=(1,-1,1).

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