Determine as derivadas parciais indicadas:
(i) h(x, y)=2 x+yx^2+y^2+4 ; partial hpartial x.

Passo 1

Temos que calcular a derivada parcial de h(x,y)=2x+yx^2+y^2+4 em relação a x. O conteúdo aqui é derivada parcial de quociente e vamos aplicar a regra: se h=u/v, então partial hpartial x = ux,v - u,vxv^2.

Passo 2

Identificamos u(x,y)=2x+y e v(x,y)=x^2+y^2+4. Portanto, partial upartial x=2 e partial vpartial x=2x.

Passo 3

Substituindo na regra do quociente:
partial hpartial x = 2(x^2+y^2+4) - (2x+y),2x(x^2+y^2+4)^2

Passo 4

Expandindo o numerador e simplificando:
2(x^2+y^2+4) - 2x(2x+y) = 2x^2 + 2y^2 + 8 - 4x^2 - 2xy = 2(y^2 - x^2 - xy + 4)
Assim, a derivada parcial fica simplificada em sua forma final.

Resposta

partial hpartial x = 2(y^2 - x^2 - xy + 4)(x^2 + y^2 + 4)^2

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