Determine todas as derivadas parciais (de
ordem) da função:
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) = \frac{e^{x}}{x y^{2}} $. Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função muda em relação a cada variável individualmente. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de diferenciação para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante e diferenciamos em relação a $ x $.
Passo 3
A função é $ g(x, y) = \frac{e^{x}}{x y^{2}} $. Podemos reescrever isso como $ g(x, y) = e^{x} \cdot (x y{2}){-1} $. Agora, usamos a regra do produto para derivadas: se temos $ u \cdot v $, então $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Passo 4
Vamos identificar $ u = e^{x} $ e $ v = (x y{2}){-1} $. A derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ u’ = e^{x} $. Agora, vamos derivar $ v $ em relação a $ x $.
Passo 5
Para $ v = (x y{2}){-1} $, a derivada em relação a $ x $ é $ v’ = -1 \cdot (x y{2}){-2} \cdot y^{2} = -\frac{y^{2}}{(x y{2}){2}} = -\frac{1}{x^{2} y^{2}} $.
Passo 6
Aplicando a regra do produto: $ \frac{\partial g}{\partial x} = u’ \cdot v + u \cdot v’ = e^{x} \cdot \frac{1}{x y^{2}} + e^{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^{2} y^{2}}\right) $.
Passo 7
Simplificando os termos:
Fatorando $ e^{x} $ e $ y^{2} $ no denominador.
Passo 8
Podemos combinar as frações:
Isso simplifica a expressão final da derivada parcial em relação a $ x $.
Passo 9
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial y} $. Desta vez, tratamos $ x $ como uma constante e diferenciamos em relação a $ y $.
Passo 10
A função é $ g(x, y) = \frac{e^{x}}{x y^{2}} $. Aqui, $ e^{x} $ e $ x $ são constantes em relação a $ y $. Podemos reescrever como $ g(x, y) = e^{x} \cdot \frac{1}{x} \cdot y^{-2} $.
Passo 11
Usamos a regra da potência para derivar $ y^{-2} $. A derivada de $ y^{n} $ em relação a $ y $ é $ n y^{n-1} $. Então, a derivada de $ y^{-2} $ é $ -2 y^{-3} $.
Passo 12
Multiplicando tudo, temos:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) = \frac{e^{x}}{x y^{2}} $ são:
e