Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
(e) g(x, y)=e^xx y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) = \frac{e^{x}}{x y^{2}} $. Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função muda em relação a cada variável individualmente. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de diferenciação para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante e diferenciamos em relação a $ x $.

Passo 3

A função é $ g(x, y) = \frac{e^{x}}{x y^{2}} $. Podemos reescrever isso como $ g(x, y) = e^{x} \cdot (x y{2}){-1} $. Agora, usamos a regra do produto para derivadas: se temos $ u \cdot v $, então $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.

Passo 4

Vamos identificar $ u = e^{x} $ e $ v = (x y{2}){-1} $. A derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ u’ = e^{x} $. Agora, vamos derivar $ v $ em relação a $ x $.

Passo 5

Para $ v = (x y{2}){-1} $, a derivada em relação a $ x $ é $ v’ = -1 \cdot (x y{2}){-2} \cdot y^{2} = -\frac{y^{2}}{(x y{2}){2}} = -\frac{1}{x^{2} y^{2}} $.

Passo 6

Aplicando a regra do produto: $ \frac{\partial g}{\partial x} = u’ \cdot v + u \cdot v’ = e^{x} \cdot \frac{1}{x y^{2}} + e^{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^{2} y^{2}}\right) $.

Passo 7

Simplificando os termos:
partial gpartial x = e^xx y^2 - e^xx^2 y^2 = e^x ( 1x y^2 - 1x^2 y^2 )
Fatorando $ e^{x} $ e $ y^{2} $ no denominador.

Passo 8

Podemos combinar as frações:
partial gpartial x = e^x cdot x - 1x^2 y^2
Isso simplifica a expressão final da derivada parcial em relação a $ x $.

Passo 9

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial y} $. Desta vez, tratamos $ x $ como uma constante e diferenciamos em relação a $ y $.

Passo 10

A função é $ g(x, y) = \frac{e^{x}}{x y^{2}} $. Aqui, $ e^{x} $ e $ x $ são constantes em relação a $ y $. Podemos reescrever como $ g(x, y) = e^{x} \cdot \frac{1}{x} \cdot y^{-2} $.

Passo 11

Usamos a regra da potência para derivar $ y^{-2} $. A derivada de $ y^{n} $ em relação a $ y $ é $ n y^{n-1} $. Então, a derivada de $ y^{-2} $ é $ -2 y^{-3} $.

Passo 12

Multiplicando tudo, temos:
partial gpartial y = e^x cdot 1x cdot (-2 y^-3) = -2 e^xx y^3

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) = \frac{e^{x}}{x y^{2}} $ são:
g(x, y) = e^xx y^2
e
partial gpartial x = e^x (x - 1)x^2 y^2

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