Determine as derivadas parciais indicadas.
z=x^2 sen^2 y, fx(-1 ; pi4), fy(-1 ; pi4)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de z = x² sen²y em relação a x e a y e avaliá-las no ponto (–1, π/4). O conteúdo envolvido é diferenciação parcial, usando regra do poder e regra da cadeia.

Passo 2

Para obter f_x, tratamos y como constante e diferenciamos em relação a x. Aplicando a regra do poder:
fx(x,y)=partialpartial xl(x^2sin^2 yr)=2xsin^2 y

Passo 3

Agora avaliamos f_x em (–1, π/4). Como sin(pi/4)=raiz22, temos sin^2(pi/4)=tfrac12. Logo:
fxl(-1,tfracpi4r)=2cdot(-1)cdottfrac12=-1

Passo 4

Para obter f_y, tratamos x como constante e diferenciamos em relação a y. Usamos a regra da cadeia em sin^2 y:
fy(x,y)=partialpartial yl(x^2sin^2 yr)=x^2cdot2sin ycos y=x^2sin2y

Passo 5

Avaliando f_y em (–1, π/4): temos x^2=1 e sin2y=sin(pi/2)=1. Assim:
fyl(-1,tfracpi4r)=1cdot1=1

Resposta

f_x(-1,π/4)=-1, f_y(-1,π/4)=1

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