Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 2 x^2 y^4x^6+2 y^6

Passo 1

Estamos diante do limite em várias variáveis lim(x,y)to(0,0)2x^2y^4x^6+2y^6. O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e vamos precisar do teste de caminhos para investigar existência do limite.

Passo 2

Para mostrar que o limite não existe, lembramos que se encontrarmos dois caminhos que levem a valores distintos, concluímos que o limite não existe.

Passo 3

Escolhemos o caminho y=kx, com k constante. Substituindo em f(x,y)=2x^2y^4x^6+2y^6, temos
f(x,kx)=2x^2(kx)^4x^6+2(kx)^6=2k^4x^6x^6+2k^6x^6=2k^41+2k^6

Passo 4

Esse valor depende de k. Por exemplo, para k=0 obtemos 0, e para k=1 obtemos 2/3. Como os limites ao longo desses dois caminhos são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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