Determine as derivadas parciais de
ordem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira ordem.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
exige
e
exige
. Para que as derivadas parciais existam de forma clássica, precisamos de
e
(explico por que nos passos seguintes).
As perguntas são:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
As perguntas são:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial (explicação didática e simples):
A derivada parcial de em relação a
é a taxa de variação de
quando só
varia e
fica fixo. Formalmente, por definição,
A derivada parcial de
onde
é tratado como constante. Analogamente, a derivada parcial em relação a
fixa
e deriva em relação a
. Na prática, usamos regras usuais de derivação (regra do produto, regra da potência, derivada do log) tratando a outra variável como constante.
Passo 3
Preparação para derivar em
: escrevemos
. A função pode ser vista como produto de duas partes:
(que depende só de
) e
(que depende só de
). Ao derivar em relação a
,
é constante.
Regra que usamos (explicação): se com
constante, então a derivada é
. Isso se chama regra da potência. Aqui
, então
Regra que usamos (explicação): se
Passo 4
Cálculo de
: como
é constante ao derivar em
,
Podemos também escrever de forma mais legível:
válido para
e
. Observação: em
a expressão explode (não existe derivada finita), por isso exigimos
.
Passo 5
Preparação para derivar em
: agora
é tratado como constante, então
é um fator constante. A derivada que precisamos usar é a da função logarítmica: se
, então
válido para
. Essa fórmula vem da definição de log natural e das regras básicas de derivação.
Passo 6
Cálculo de
: como
é constante ao derivar em
,
válido para
e, para derivada clássica,
. (Para
isso dá
como valor pontual da derivada em
se considerarmos o fator constante.)