Determine as derivadas parciais de 1^{\mathrm{a}} ordem das seguintes funções:
f(x, t)=\sqrt{x} \ln t

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,t)=\sqrt{x}\,\ln t e pede as derivadas parciais de primeira ordem.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\sqrt{x} exige x\ge 0 e \ln t exige t>0. Para que as derivadas parciais existam de forma clássica, precisamos de x>0 e t>0 (explico por que nos passos seguintes).
As perguntas são:
  1. Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,t).
  2. Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}(x,t).

Passo 2

O que é uma derivada parcial (explicação didática e simples):
A derivada parcial de f em relação a x é a taxa de variação de f quando só x varia e t fica fixo. Formalmente, por definição,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,t)-f(x,t)}{h},
onde t é tratado como constante. Analogamente, a derivada parcial em relação a t fixa x e deriva em relação a t. Na prática, usamos regras usuais de derivação (regra do produto, regra da potência, derivada do log) tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Preparação para derivar em x: escrevemos \sqrt{x}=x^{1/2}. A função pode ser vista como produto de duas partes: x^{1/2} (que depende só de x) e \ln t (que depende só de t). Ao derivar em relação a x, \ln t é constante.
Regra que usamos (explicação): se g(x)=x^{n} com n constante, então a derivada é g'(x)=n x^{n-1}. Isso se chama regra da potência. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}: como \ln t é constante ao derivar em x,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)=\left(\frac{d}{dx}x^{1/2}\right)\cdot \ln t =\frac{1}{2}x^{-1/2}\ln t.
Podemos também escrever de forma mais legível:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)=\frac{\ln t}{2\sqrt{x}},
válido para x>0 e t>0. Observação: em x=0 a expressão explode (não existe derivada finita), por isso exigimos x>0.

Passo 5

Preparação para derivar em t: agora x é tratado como constante, então \sqrt{x} é um fator constante. A derivada que precisamos usar é a da função logarítmica: se h(t)=\ln t, então
\frac{d}{dt}\ln t=\frac{1}{t},
válido para t>0. Essa fórmula vem da definição de log natural e das regras básicas de derivação.

Passo 6

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}: como \sqrt{x} é constante ao derivar em t,
\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)=\sqrt{x}\cdot\frac{d}{dt}\ln t =\sqrt{x}\cdot\frac{1}{t} =\frac{\sqrt{x}}{t},
válido para x\ge 0 e, para derivada clássica, t>0. (Para x=0 isso dá 0 como valor pontual da derivada em t se considerarmos o fator constante.)

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)=\frac{\ln t}{2\sqrt{x}}
\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)=\frac{\sqrt{x}}{t}

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